第壹，增長率問題
例1恒利商廈9月銷售額200萬元，10月銷售額下降20%。從11月份開始加強商業大廈的管理和運營，使銷售額穩步增長，12月份銷售額達到1.936萬元，求這兩個月的平均增長率。
假設這兩個月的平均增長率是X，那麽根據題意，就是200(1-20%)(1+X)2 = 193.6。
即(1+x) 2 = 1.21。如果我們解這個方程，就會得到x1 = 0.1，x2 =-2.1(不含)。
回答:這兩個月的平均增長率是10%。
說明這是壹個正增長率問題。對於正增長率問題，我們可以用公式M (1+x) 2 = n求出增長次數和問題中每個數據的意義，其中m < n，對於負增長率問題，如果相等地下降兩次，我們可以用公式M (1-x) 2 = n求解。
第二，商品定價
例2益群精品以每件21元的價格購買壹批商品，可自行定價。如果每個產品的價格是壹元，可以賣(350-10a)件，但是物價局限制每個產品的利潤不超過20%。如果店鋪計劃盈利400元，需要采購多少件？每件商品應該定價多少？
根據題意，解為(A-21) (350-10a) = 400，做完後A2-56a+775 = 0。
解這個方程得到A1 = 25，A2 = 31。
因為21× (1+20%) = 25.2，所以a2=31無關，省略。
所以350-10a = 350-10×25 = 100(件)。
答:我們需要采購100件，每件定價25元。
說明商品定價是商品交易中的重要問題，也是各種考試中的熱點。
第三，儲蓄問題
例3王紅梅第壹次將1，000元壓歲錢隱性存入兒童銀行。到期後，他取出本息，捐了500元給希望工程，其余全部存壹年。此時，存款年利率已經降低到第壹筆存款年利率的90%。到期後本息530元。(假設計算第壹筆存款的年利率。
第壹筆存款的年利率是x。
然後根據題意，[1000(1+x)-500](1+0.9x)= 530。整理，90x2+145x-3 = 0。
如果我們解這個方程，我們得到X1 ≈ 0.0204 = 2.04%，X2 ≈-1.63。由於存款利率不能為負，所以省略了X2 ≈-1.63。
甲:第壹次存款的年利率大約是2.04%。
說明這裏的解決是基於教育儲蓄，利息稅要註意。
第四，有趣的問題
例4壹個醉漢拿著壹根竹竿進城，但他橫著插不進去。竹竿的長度比城門寬4米。旁邊壹個醉漢嘲笑他。妳沒看到城門的高度嗎？妳可以豎著進去，但它比城門高2米。他們別無選擇，只能請教智者。智者教他們沿著門的對角對角握住，他們試了試。或多或少只是碰巧進入這個城市。妳知道竹竿的存在。
若河道深度為xm，則河道底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4) m .
然後根據題意，(x+0.1+x+1.4+0.1)x = 1.8，排序後x2+0.8x-1.8 = 0。
解這個方程，我們得到x1 =-1.8(不含)，x2 = 1。
所以x+1.4+0.1 = 1+1.4+0.1 = 2.5。
渠道上口寬2.5m，渠道深度1m。
說明這個問題壹開始似乎沒有辦法解決，但只要妳能仔細閱讀品味，就能找到等價關系，列出方程來求解。
第五，古詩詞的問題
例5讀詩解題:(通過做方程計算周瑜死時的年齡)。
大江東去浪淘盡，千古人多；
在他建立的那壹年，他監管吳棟，他英年早逝，死於兩位數；
十位只是三位那麽小，位的平方和長壽符號；
哪個學生快？他屬於周瑜多少年？
如果周瑜死時年齡的個位數是X，那麽十位數就是X-3。
那麽根據問題的意思，我們得到x2 = 10 (x-3)+x，即x2-11x+30 = 0。如果我們解這個方程，我們得到x = 5或者x = 6。
當x = 5時，周瑜的年齡是25歲，不是立年，無關緊要。
當x = 6時，周瑜36歲，完全符合問題。
周瑜36歲去世。
說明這個題目雖然是古詩詞，但是涉及到數字和年代，同學們要通過解答來認真對待。
六、象棋比賽
在國際象棋比賽中，每位選手與其他選手正好進行壹局比賽，勝者得2分，敗者得0分。如遇平局，雙方選手均得1分，領先賽區4名同學統計所有入選選手的總成績，分別為1979，1980，1984。
假設有N個玩家參加比賽，每個玩家要和(N-1)個玩家進行壹場比賽，共計N (N-1)場，但兩個玩家之間的比賽從每個玩家的角度算壹次，所以實際的總比賽數應該是N (N-1)場。由於每場比賽總分為2分，因此，所有選手的總得分為n (n-1)。很明顯，(n-1)和n是相鄰的自然數，很容易驗證。兩個相鄰自然數乘積的最後壹位只能是0，2，6，所以總分不能是1979，1984，65434。所以從n (n-1) = 1980，N2-n-1980 = 0，解為n1 = 45，N2 =-44(不含)。
答:比賽有45名選手。
說明其他體育比賽或者互贈賀年卡，類似於這道題的象棋比賽，可以通過模仿壹些方法來解決。
七、情景對話
例7春秋旅行社為了吸引市民前往天水灣景區旅遊，在對話中介紹了如圖1所示的收費標準。
某單位組織員工到天水灣景區旅遊，共向春秋旅行社支付費用2.7萬元。這次單位有多少員工去天水灣景區旅遊？
本單位有x名員工到天水灣景區旅遊。由於1000× 25 = 25000 < 27000，所以員工人數必須超過25人。
根據題意，[1000-20 (x-25)] x = 27000。
排序後，我們得到x2-75x+1350 = 0。當我們解這個方程時，我們得到x1 = 45，x2 = 30。
當x = 45時，1000-20 (x-25) = 600 < 700，所以省略x 1；
當x2 = 30時，1000-20 (x-25) = 900 > 700，符合題意。
答:這次該單位共有30名員工到天水灣景區旅遊。
說明在解決這個問題時要時刻註意對話框中的數量關系，註意對得到的解進行分類討論，從而找出符合問題意義的結論。
八、等積變形
例8壹塊長18m，寬15m的長方形荒地建成花園(陰影部分)，占原荒地面積的三分之二(精確到0.1m)。
(1)設計方案1(如圖二)花園內建有兩條相互垂直、寬度相等的小徑。
(2)設計方案二(如圖3)花園中每個角落都有相同的扇形。
以上兩種方案能否滿足要求？如果是，請計算圖2中路徑的寬度和圖3中扇形的半徑。如果不能達到要求，請說明理由。
解決方案可以是全部。(1)設路徑寬度為x，則18x+16x-x2 =×18×15，即x2-34x+180 = 0。
解這個方程得到x =，即x≈6.6。
(2)設扇形半徑為r，則3.14r 2 =×18×15，即r2≈57.32，所以r≈7.6。
說明等面積變形壹般涉及常見圖形的體積和面積公式；它的原理是形變乘積不變；或者變形產物發生變化，但重量不變，等等。
九、動態幾何題
例9如圖4所示，在△ABC，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，P點從A點沿AC以1cm/s的速度移動到C點，Q點從C點沿CB以2 cm/s的速度移動到B點.
(1)如果P和Q同時開始，幾秒鐘後，△PCQ的面積可以是8平方厘米嗎？
(2)點P和Q的運動過程中是否存在某壹時刻，使得△PCQ的面積等於△ABC面積的壹半。如果有，找出運動時間；如果不存在，說明原因。
解因為∠ C = 90，AB = = = 10 (cm)。
(1)設置xs後，△PCQ的面積可以是8cm2，所以AP = xcm，PC = (6-x) cm，CQ = 2xcm。
那麽根據問題的意思，我們得到(6-x) 2x = 8。排序後，我們得到x2-6x+8 = 0。如果我們解這個方程，我們得到x1 = 2，x2 = 4。
所以從P和Q同時開始，2s或4s後△PCQ的面積可以是8cm2。
(2)從P點開始X秒後，△PCQ的面積等於△ABC面積的壹半。
根據題意，(6-x) 2x =×× 6× 8。排序後，x2-6x+12 = 0。
由於這個方程沒有實根，所以沒有時間使△PCQ的面積等於ABC面積的壹半。
說明這個問題雖然是壹個動態應用題，但是要應用到出行的知識中，求解必須基於距離=速度×時間。
X.階梯問題
例10壹個長10m的梯子靠在墻上，梯子底部離墻角6m。
(1)如果梯子頂部向下滑動1m，梯子底部水平滑動多少米？
(2)如果梯子底部水平向外滑動1m，梯子頂部滑動多少米？
(3)如果梯子頂部的滑動距離等於底部的滑動距離，那麽滑動距離是多少米？
根據問題的意思，梯子頂端到拐角的距離是8 (m)。
(1)如果梯子頂端滑下1m，頂端離地7m。讓梯子的底部滑動xm。
然後根據勾股定理對列方程72+(6+x) 2 = 102進行排序，得到x2+12x-15 = 0。
如果解這個方程，得到x1≈1.14，x2 ≈-13.14(不含)。
於是梯子頂部向下滑動1m，底部水平滑動約1.14m。。
(2)當梯子底部水平向外滑動1m時，讓梯子頂部向下滑動xm。
然後根據勾股定理，列方程(8-x) 2+(6+1) 2 = 100。經過排序，X2-16x+13 = 0。
如果解這個方程，得到x1≈0.86，x2≈15.14。
因此，如果梯子底部水平向外滑動1m，頂部將向下滑動約0.86m。
(3)當梯子頂部向下滑xm時，底部也向外滑動xm。
然後根據勾股定理對列方程(8-x) 2+(6+x) 2 = 102進行排序，得到2x2-4x = 0。
解這個方程，我們得到x1=0 = 0(不含)，x2 = 2。
所以當梯子的頂端滑下2米時，底部也滑出2米。
指出無論梯子如何沿墻上下滑動，它總是與墻和地面形成直角三角形。
XI。導航問題
例11如圖5所示，我海軍基地位於A處，正南200海裏處有壹個重要目標B，正東200海裏處有壹個重要目標C，D島正好在AC的中點，島上有壹個補給碼頭。F島位於BC島，就在D島的南面，壹艘戰艦從A到c勻速航行，壹艘補給艦從D直線勻速航行，試圖向戰艦運送壹批貨物。
(1)D島和F島相距多少海裏？
(2)已知軍艦的速度是補給艦的兩倍。在從B到C的途中，軍艦在E點與補給艦相遇，那麽他們相遇時補給艦航行了多少海裏？(精確到0.1海裏)
如果(1)F的解位於d的南方向，那麽DF⊥BC.由於AB⊥BC和d是AC的中點，DF = AB = 100海裏，所以d島距離f島100海裏.
(2)假設補給船相遇時航行了X海裏，那麽DE = X海裏，AB+BE = 2x海裏，EF = AB+BC-(AB+BE)-CF = (300-2x)海裏。
在Rt△DEF中，根據勾股定理，可以得到方程x2 = 1002+(300-2x) 2。排序後我們得到3x2-1200x+100000 = 0。
解這個方程，我們得到x 1 = 200-≈118.4，X2 = 200+。
因此，當他們相遇時，補給艦大約航行了118.4海裏。
說明在解決這個問題時，壹定要仔細分析問題的含義，及時找到問題中的等價關系，從圖形中找到直角三角形，才能正確運用勾股定理來布局壹元二次方程。
十二。圖表信息
例12如圖6所示，正方形ABCD的邊長為12，分成12個小正方形單元格。邊長為n(n為整數，2≤n≤11)的黑白方形紙，排列如圖。第壹張n×n的紙剛好蓋住了正方形ABCD左上角的n×n個小正方形，第二張紙蓋住第壹張紙的部分剛好是(n-1) × (n-1)個小正方形。保持這樣，直到紙蓋住了正方形ABCD的右下角。
請在仔細觀察和思考後回答以下問題:
(1)由於正方形紙片的邊長n值不同，擺放時使用的正方形紙片數量也不同。請填寫下表:
紙張的邊長N 2 3 4 5 6
使用的紙張數量
(2)設正方形ABCD被紙覆蓋的面積(重疊部分只計壹次)為S1，未覆蓋的面積為S2。
①當n = 2時，求S1∶S2的值；
②有沒有壹個n值使得S1 = S2？如果存在，請求出來；如果不存在，請說明原因。
解(1)可根據題意依次填入表中:11，10，9，8，7。
(2)s 1 = N2+(12-n)[N2-(n-1)2]=-N2+25n-12。
①當n = 2時，S1 =-22+25× 2-12 = 34，S2 = 12×12-34 = 110。
所以s 1∶S2 = 34∶110 = 17∶55。
②若S1 = S2，則有-N2+25N-12 =× 122，即N2-25N+84 = 0。
解這個方程得到n1 = 4，N2 = 21(不含)。
所以當n = 4時，S 1 = S ^ 2。所以這樣的n值是存在的。
說明了在解決這個問題時，要通過閱讀設置條件和提供的圖表，及時挖掘出隱含條件。對於第三個子問題的求解，可以先假設問題的存在性，然後構造壹元二次方程，判斷壹元二次方程是否有實根。
十三。探索存在的問題
例13將壹根20cm長的鐵絲切成兩段，在每段鐵絲的長度周圍做壹個正方形。
(1)要使這兩個正方形的面積之和等於17cm2，這根線切成兩段後的長度是多少？
(2)兩個正方形的面積之和能等於12cm2嗎？如果是，找出兩段鐵絲的長度；如果沒有，請說明原因。
解(1)讓它被切成兩部分，壹部分是xcm，另壹部分是(20-x) cm。
然後根據題意，我們得到+= 17，得到x1 = 16，x2 = 4的解。
當x = 16，20-x = 4，當x = 4，20-x = 16，
回答:這根鐵絲被切成兩段的長度分別是4cm和16cm。
(2)不會，原因是:我們假設切成兩段後，壹段是ycm，另壹段是(20-y) cm。那麽我們就可以從題意中得到+= 12cm2，從排列中可以得到Y2-20Y+104 = 0，從公式中可以得到(y-65434)。
說明這個問題中的第二個問題也可以用求根公式中的B2-4ac來判斷。如果B2-4ac≥0，方程有兩個實根；如果B2-4ac < 0，則方程沒有實根，本題中的B2-4ac =-16 < 0，即無解。
十四、平分幾何圖形的周長和面積。
例14如圖7所示，在等腰梯形ABCD中，AB = DC = 5，AD = 4，BC = 10。E點在下底BC上，F點在腰AB上。
(1)若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE的長度為X，試以含X的代數表達式表示△BEF的面積；
(2)是否存在等分等腰梯形ABCD的周長和面積的線段EF？如果存在，找出此時BE的長度；如果不存在，請說明原因；
(3)有沒有壹條線段EF同時把等腰梯形ABCD的周長和面積分成1∶2兩部分？如果存在，求此時BE的長度；如果不存在，請說明原因。
解(1)基於已知條件，梯形周長12，高4，面積28。
g區FG⊥BC的通過點f，k區AK⊥BC的通過點a
那麽可以得到fg = × 4，
所以s △ BEF = be fg =-x2+x (7 ≤ x ≤ 10)。
(2)存在。從(1)，我們得到-x2+x = 14。解這個方程，我們得到x1 = 7，x2 = 5(無關，略)。
所以有壹條線段EF同時平分等腰梯形ABCD的周長和面積，be = 7。
(3)不存在。假設存在，顯然存在壹個S△BEF∶S AFECD = 1 ∶ 2的多邊形。
即(be+BF): (AF+AD+DC) = 1: 2。然後就是-x2+x =，
整理，此時根公式中3x2-24x+70 = 0，B2-4ac = 576-840 < 0
所以不存在實數x .即不存在將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成兩部分的線段EF:1∶2。
說明解決這個問題要註意:壹是要正確確定x的取值範圍；第二，當x2 = 5時，不屬於7≤x≤10，應及時丟棄；三、處理第三個問題的本質是用壹個二次方程來探究問題的存在性。
十五、利用圖形探索規律
例15如圖8所示，每個正方形由壹個邊長為1的小正方形組成:
(1)要觀察圖表，請填寫下表:
正方形的邊長是1 357...n(奇數)
黑色小方塊的數量…
正方形的邊長是2468...n(偶數)
黑色小方塊的數量…
(2)在邊長為n(n≥1)的正方形中，設黑色小正方形的個數為P1，白色小正方形的個數為P2，求是否有偶數n，使P2 = 5P1？如果存在，請寫出n的值；如果不存在，請說明原因。
解(1)觀察分析圖案，我們知道，當壹個正方形的邊長為1，3，5，7，…，n時，黑色正方形的個數為1，5，9，13，2n-1(奇數)；當正方形的邊數為2，4，6，8，…，n時，黑色正方形的個數為4，8，12，16，2n(偶數)。
(2)我們從(1)知道，當n是偶數時，P1 = 2n，所以P2 = N2-2n。根據題意，N2-2n = 5× 2n，即N2-P1=2n = 0，解為N1 = 18。
說明這個問題的第二個問題屬於存在性問題。求解的時候可以先假設結論存在，然後從中找到數量關系，這樣問題就解決了。
綜上所述，列出壹元二次方程解決應用問題，是列出壹元壹次方程和二元壹次方程解決應用問題的延續和發展。列出壹個方程來解決應用問題，就是先把實際問題抽象成方程模型，然後通過解方程來解決。列舉壹元二次方程解決應用問題的關鍵是找出未知量與已知量的關系，從而將實際問題轉化為方程模型，並善於將普通語言轉化為代數表達式。要特別註意關鍵詞，比如“多少、快、慢、和、差、次、分、過、盈、增、減”等等。另外還要掌握壹些常用的公式或者特殊的等價關系，比如特殊圖形的面積公式，旅行問題，工程問題，增長率問題中的壹些特殊關系等等。