首先，什麽是微積分
微積分（拉丁語為小石頭，用於計數）是研究極限、微分學、積分學和無窮級數的數學分支，已成為現代大學教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾指無窮小的計算。更本質的是，微積分是研究變化的科學，就像幾何是研究形狀的科學壹樣，代數是研究代數運算和求解的科學。
微積分被廣泛應用於科學、經濟和工程領域，以解決僅靠代數無法有效解決的問題。微積分建立在代數學、三角學和解析幾何的基礎上，包括微分學和積分學。微分學，包括導數的計算，是壹套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線斜率可以由壹組通用符號推導出來。積分學，包括積分的計算，提供了壹套定義和計算面積和體積的通用方法。微積分的基本定理指出，微分和積分是逆運算，這就是為什麽將兩種理論統壹為微積分的原因。我們可以以其中任何壹個作為討論微積分的起點，但微分學通常首先引入教學。在更深層次的數學領域，微積分通常被稱為分析，並被定義為研究函數的科學。
二、基本概念
微積分有三個主要分支:極限、微分學和積分學。微積分的基本理論表明微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茨發現了這個定理，這引起了其他學者對微積分的熱情研究，這壹發現也使我們能夠在微分和積分之間進行轉換。這壹基本理論還提供了壹種用代數計算許多積分問題的方法，即以不定積分法代替極限運算法。這個理論還可以解決壹些微分方程的問題，解決未知數的積分問題。科學中微分問題無處不在。
微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續性，運算方法主要包括符號運算技巧，與初等代數和數學歸納法密切相關。
微積分已經擴展到微分方程、向量分析、變分法、復分析、時域微分和微分拓撲。微積分的現代版本是真正的分析。
三、微積分的歷史
（1）古代
古代數學的思想傾向於積分，但並不嚴謹和系統。積分的任務之壹，即計算體積和面積，可以在埃及莫斯克莎草紙（公元前1820年）中找到。它的配方也很簡單，方法沒有說明，主要成分不全。積分的起源很早。在古希臘，歐多克索斯（公元前408-355年）使用窮盡方法找到了特殊的圖形區域。阿基米德（公元前287-212年）用內接正多邊形的周長窮盡了壹個圓的周長，得到了圓周率的近似值。壹系列三角形也被用來填充拋物線的圖形以求其面積。這些都是窮舉法的經典例子。公元三世紀後，中國的劉徽也用窮舉法求圓的面積。五世紀後，祖沖之提出了壹種計算球體體積的算法，也叫卡瓦列裏公式。
②現代
發展現代微積分理論的壹個動力是解決切線問題，另壹個動力是面積問題。
文藝復興之後，基於實際需要和理論探討，整合技能得到了進壹步發展。例如，為了方便航行，傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的墨卡托投影法，使地圖上的直線成為航行時保持方向的斜線。在歐洲，基本論點來自Bonaventura cavalieri，他認為體積和面積應該通過找到無窮小橫截面的總數來計算。他的想法與阿基米德的方法論相似，但卡瓦列裏的手稿丟失了，直到20世紀初才被發現。卡瓦列裏的努力沒有得到認可，因為他的方法誤差很大，而且當時無窮小沒有受到重視。
17世紀上半葉是微積分的孕育期。在探索思想的過程中，計算是個體的，應用也是個體的。隨後，戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓幾乎同時完善了微積分的概念，闡明了微分和積分之間的關系，使計算系統化，並大規模地將微積分應用於幾何和物理研究。
在他們創立微積分之前，人們將微分和積分視為獨立的學科，後來他們真正劃分了“微積分”這門學科。
在微積分的正式研究中，皮埃爾·德·費馬聲稱他借鑒了丟番圖的成果並引入了“充分性”的概念，這相當於無窮小誤差。遺憾的是，他未能理解兩者之間的密切關系。約翰·沃利斯（數學家）、艾薩克·巴羅和詹姆斯·格雷戈裏完成了組合論證。牛頓的老師艾薩克·巴羅知道他們之間存在著互惠關系，但他無法理解這種關系的意義。原因之壹是沒有系統的導數計算方法。古希臘平面幾何的成功對西方數學產生了深遠的影響:人們普遍認為只有幾何論證方法才是嚴謹而真實的數學，代數只是壹種輔助工具。直到笛卡爾和費馬提倡用代數方法研究幾何，這種態度才逐漸改變。然而，壹方面幾何思維模式深入人心，另壹方面代數方法仍不成熟，實數系統長期未能建立，因此許多數學家仍固守幾何陣營，無法發展出有效的計算方法，巴羅就是其中之壹。雖然牛頓放棄了老師的純幾何觀點，發展了壹種有效的微分方法，但他不敢發表。牛頓運用微積分的技巧，從萬有引力定律和運動定律解釋了他的宇宙體系，解決了天體運動、流體旋轉面、地球扁率、重物在擺線上的運動等問題。牛頓在解決數學和物理問題時使用獨特的符號進行計算。其實這些就是乘積定律、鏈式定律、高階導數、泰勒級數和解析方程。然而，由於害怕當時人們的批評，他仍然在其巨著《自然哲學的數學原理》（1687）中抹去了微積分的痕跡，並以經典的幾何方式進行了討論。在其他著作中，牛頓使用了分數和無理數的力量。顯然，牛頓知道泰勒級數定律。但他沒有發表這些發現，因為無窮小在當時仍有爭議。
上述觀點被戈特弗裏德·威廉·萊布尼茨整合成壹個真正的微積分無窮小版本，而牛頓指責前者抄襲。萊布尼茨被認為是當今另壹個獨立發明微積分的人。他的貢獻在於他的嚴格風格，使計算二階或更高階的導數變得容易，並以微分和積分的形式給出了乘積法則和鏈式法則。與牛頓不同，萊布尼茨非常註意形式，經常日復壹日地研究適當的符號。
萊布尼茨和牛頓都被認為是微積分的獨立發明者。牛頓首先將微積分應用於普通物理，而萊布尼茨則創造了今天的大部分符號。牛頓和萊布尼茨都給出了微分和積分的基本方法、二階或高階導數、數列近似值的符號等等。在牛頓時代，微積分的基本公式已經為世人所知。
當牛頓和萊布尼茨首次發表他們各自的成果時，數學界爆發了壹場關於發明微積分的所有權和優先權的持久辯論。牛頓首先得出結論，萊布尼茨首先發表了結論。牛頓聲稱萊布尼茨剽竊了他未發表的手稿，這得到了牛頓皇家學會的支持。這場大爭論將數學家分成兩派:壹派是為牛頓辯護的英國數學家；另壹組是歐洲大陸的數學家。這個結果對英國數學家來說並不好。經過日後的仔細驗證，牛頓和萊布尼茨獨立得出了自己的結論。萊布尼茨是從積分推導出來的，牛頓是從微分推導出來的。今天，牛頓和萊布尼茨被認為是發明微積分的兩位獨立作者。“微積分”的名稱及其運算符號是由萊布尼茨創造的，牛頓稱之為“流數”。
微積分被許多人不斷改進，這也離不開巴羅、笛卡爾、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。瑪利亞·阿涅西在1748年總結和編輯了最早的關於有限和無窮小的完整分析著作。牛頓和萊布尼茨使微積分系統化，但不夠嚴謹。然而，當微積分被成功地用於解決許多問題時，十八世紀的數學家們偏向於它的應用，而不太致力於它的嚴謹性。當時，微積分的發展幸運地掌握在幾位非常卓越的數學家手中，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾和伯努利家族。所研究的問題來自自然現象，因此微積分的許多推論都可以用自然現象的數據來驗證，因此微積分不會因為基礎不穩定而隱含錯誤。在這些數學家的手中，微積分的範圍迅速超越了大學早期階段教授的微積分課程，並走向了更高級的分析科學。
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