證明過程:
根據三次差分公式(a+1)？-a？=3a？+3a+1，有:
當a=1: 2時？-1?=3×1?+3×1+1
當a=2: 3時？-2?=3×2?+3×2+1
當a=3: 4時？-3?=3×3?+3×3+1
當a=4: 5時？-4?=3×4?+3×4+1
。
當a=n: (n+1)時？-n？=3×n？+3×n+1
將等式的兩邊相加:
(n+1)？-1=3(1?+2?+3?+ +n？)+3(1+2+3 ++ n)+(1+1+1 ++ 1)
3(1?+2?+3?+ +n？)=(n+1)？-1-3(1+2+3+.+n)-(1+1+1+。+1)
3(1?+2?+3?+ +n？)=(n+1)？-1-3(1+n)×n÷2-n
6(1?+2?+3?+ +n？)=2(n+1)？-3n(1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)？-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]= n(n+1)(2n+1)
所以1？+2?+ +n？=n(n+1)(2n+1)/6 .
擴展數據:
三次差公式和三次和公式統稱為三次公式，其基本描述如下:
1，立方和公式，即兩個數的立方和等於這兩個數的和與這兩個數的平方和之差的乘積與這兩個數的乘積。也可以說，兩個數的立方和等於這兩個數的乘積與這兩個數之差的不完全平方的乘積。
2.三次差公式，即兩個數的三次差等於這兩個數的差與這兩個數的平方和的乘積與這兩個數的乘積之和。換句話說，兩個數的立方差等於兩個數的差和這兩個數之和的不完全平方的乘積？。
參考資料:
百度百科_立方差分公式