K.Weierstrass把收斂於圓盤上的冪級數的和函數稱為解析函數，而區域上的解析函數是指可以表示為區域內每個小圓鄰域內冪級數和的函數。解析函數的不同定義在20世紀初被證明是等價的。根據Weierstrass的定義，區域上的解析函數可以看作是區域內任意小圓鄰域上冪級數的解析延拓。解析延拓的壹般定義是f(z)和g(z)分別是D& D*上的解析函數。如果d &；EacuteD*和f(z)=g(z)在D*上。那麽f(z)稱為g(z)從D*到D的解析延拓，解析延拓的概念可以推廣到f(z)和g(z)分別在兩個圓盤D1和D2上是冪級數，D 1∩D2≦，D 1∩上f(z)=g(z)也稱為f，它們的並記為ω，得到ω上的壹個解析函數，它這裏可能會出現這樣的情況，壹些圓盤重疊成壹條鏈，但是這些重疊圓盤上的解析函數各不相同，每壹個都稱為完全解析函數的壹個分支。這樣的全解析函數實際上是多值函數。黎曼提出將多值解析函數中的重疊圓盤視為不同的“葉子”，以免在並的過程中只留下壹個代表，從而形成了壹種叫做黎曼曲面的幾何模型。將多值函數視為定義在其黎曼曲面上的解析函數，使多值解析函數成為單值解析函數。