幾何布朗運動 (GBM)（也叫做指數布朗運動）是連續時間情況下的隨機過程，其中隨機變量的對數遵循布朗運動。[1]幾何布朗運動在金融數學中有所應用，用來在布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes 模型）中模擬股票價格。本題中，若若假設有種新型投資，若購買該投資後六個月內證券價格至少為105，並且購買壹年後的價格至少和六個月時價格壹樣多，那麽計算為：50乘exp（-0.04）再乘S（1/2）>105的概率再乘S（1）>S（1/2）的概率，則這種投資壹年後的收益為50。
1.常見隨機過程介紹
1）幾何布朗運動（GBM）：這個過程被Black-Scholes（1973）引入到期權定價文獻中，雖然這個過程有壹些缺陷，並且與實證研究存在著沖突，但是仍然是壹種期權和衍生品估值過程的基礎過程。
2）CIR模型：平方根擴散過程，這種過程由Cox，Ingersoll和Ross（1985）所提出，用於對均值回復的數量，例如利率或波動率進行建模，除了均值回復的特性以外，這個過程還是保持為正數。
3）跳躍擴散過程(Jump Diffusion)：首先由Merton（1976）所給出，為幾何布朗運動增加了對數正態分布的條約成分，這允許我們考慮，例如，短期虛值（OTM）的期權通常需要在較大條約的可能性下定價。換句話說，依賴GBM作為金融模型通常不能解釋這種OTM的期權的價格，而跳躍擴散過程可能很好的解釋。
4）Heston模型：是由Steven Heston（1993）提出的描述標的資產波動率變化的數學模型。Heston模型是壹個隨機波動模型，這種模型假設資產收益率的波動率並不恒定，也不確定，而是跟隨壹個隨機過程來運動。
5）SABR模型：SABR 模型是由Hagan（2002）提出的壹種隨機波動率模型，在拋棄了原始的BSM模型中對於波動率為某壹常數的假定，假設隱含波動率同樣是符合幾何布朗運動的，並且將隱含波動率設定為標的價格和合約行權價的函數，結合了隱含波動率修正模型的兩種思路（隨機波動率模型和局部波動率模型），更為準確的動態刻畫出吻合市場特征的隱含波動率曲線。