B-S期權定價模型(以下簡稱B-S模型)及其假設:1，金融資產收益率服從對數正態分布；
2.無風險利率和金融資產收益變量在期權有效期內是不變的；
3.市場沒有摩擦，也就是沒有稅收和交易成本；
4.金融資產在期權有效期內沒有股息和其他收入(放棄了這壹假設)；
5.該期權是歐式期權，即在期權到期前不能實施。C=S N(D1)-L (E^(-γT))*N(D2)
其中包括:
d1=(ln(s/l)+(γ+(σ^2)/2)*t)/(σ*t^(1/2))
D2=D1-σ*T^(1/2)
c-期權的初始合理價格
l-期權交割價格
s-交易的金融資產的當前價格。
t-期權的有效期
γ——連續復利的無風險利率h。
σ2-年化方差
n()-正態分布變量的累積概率分布函數，這裏要說明兩點:
首先，該模型中的無風險利率必須是連續復利的形式。簡單或不連續的無風險利率(設為γ0)通常壹年復利壹次，而γ要求利率連續復利。γ0必須換算成r，才能代入上述公式進行計算。它們之間的換算關系為:γ=LN(1+γ0)或γ0=Eγ-1。比如γ0=0.06，那麽γ=LN(1+0.06)=0583，也就是100投入583%連續復利，第二年得到106。這個結果和γ0=0.06直接計算出來的答案是壹致的。
二是期權有效期T的相對表示，即期權有效天數與壹年365天的比值。如果期權的有效期是100天，那麽T=100/365=0.274。(壹)B-S模型的推導B-S模型的推導從看漲期權開始。對於看漲期權，其到期值為:E[G]=E[max(ST-L，O)]
其中，e[g]-看漲期權到期預期ST-到期交易的金融資產市值。
l-期權交割(執行)價格
期權到期可能有兩種情況:1。如果使用STL，期權實施生效為價內，mAx(ST-L，O) = ST-L。
2.如果ST
max(ST-L，O)=0
因此:e[CT]= p×(e[ST | STL)+(1-p)×o = p×(e[ST | STL]-l)。
其中:P-(STL)E[ST | STL]-給定(STL)折扣下ST的期望值E[G]根據有效期和無風險連續復利rT得出期權的初始合理價格:C=P×E-rT×(E[ST|STL]-L)(*)，從而將期權定價轉化為確定P和E。
首先，
定義收入。與利率壹致，收益是金融資產期權交割日市價(st)與現價(S)之比的對數值，即收益= 1 nts。假設1的收益服從對數正態分布，即1nsts ~ n (μ t，σT2)，那麽E[1 NST(STS]=μT，STS ~ en (μ t，σT2)可以證明相對價格期望大於EμT，即:e [STS] =。已知正態分布具有性質:Pr06[ζν]= 1-N(χ-μσ)，其中:ζ-正態分布的隨機變量χ-關鍵值μ的期望值σ-ζ的標準差，所以:p = pr06 [st1] = pr0。TTNC4是從對稱數第三個:1-n(d)= n(-d)p = n 1 nsl+(γ-σ22)tσtars，得到給定STL下ST的期望值。因為E[ST|ST]L]在正態分布的L到∞的範圍內，所以E[ST|ST]=S EγT N(D1)N(D2)。
其中包括:
d 1 = lnsl+(γ+σ22)tσtd2 = lnsl+(γ-σ22)tσt = d 1-σt最後，
將P和E[ST|ST]L]代入公式(*)得到B-S定價模型:C=S N(D1)-L E-γT N(D2)(二)B-S模型的應用實例假設市場上壹只股票的現價為164，無風險連續復利γ為0.000，
①找到d 1:d 1 =(1n 164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959 = 0.039。
②求D2:D2 = 0.0328-0.29×0.0959 =-0.570。
③查標準正態分布函數表，得到:n(0.03)= 0.5120n(-0.06)= 0.471。
④求c:c = 164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.471 = 5.803。
所以理論上這個期權的合理價格是5.803。如果期權的實際市場價格是5.75，說明期權被低估了。在沒有交易成本的情況下，買入看漲期權是有利可圖的。
(三)看跌期權定價公式的推導B-S模型是看漲期權的定價公式。
根據看跌期權平價理論，可以推導出有效期權的定價模型。根據看跌期權平價理論，買入壹只股票並在股票上認沽期權的組合，與在同等條件下買入壹只看漲期權，並以期權的交割價格發行無風險折價的債券具有相同的價值，其表達式如下:
S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T
移位後的項為:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，B-S模型替換為P = L E-γT[1-N(D2)]-S[B-S模型只解決不分紅股票的期權定價問題，Merton發展了B-S模型並應用於分紅的股票期權。(1)存在已知的不連續紅利。假設壹只股票在期權有效期內的某個時間T(即除息日)支付了壹筆已知的股利DT，只需從股票的現價S中去掉股利的現值，將調整後的股票價值S '代入B-S模型:S' = S-DTE-RT，如果在有效期內有其他收入，則按此法逐壹扣除。從而將B-S模型修改成新的公式:
C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)
(2)連續分紅的存在性是指股票以已知的股息率(設為δ)不間斷地連續分紅。如果某公司股票的年股息率δ為0.04，則該股票的現值為164，那麽該年的預期股利為164×004= 6.56。值得註意的是，這筆獎金不分四個季度發放，即每季度164；其實是隨著美元最小單位的不斷再投資而自然增長的，壹年累積到6.56。因為股票價格全年不斷波動，實際分紅也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型不要求股利是已知的或固定的，它只要求股利按照股票價格的支付比例固定。
這裏股息的現值是:S(1-E-δT)，所以S ' = se-δT，用S '代替S，就存在連續支付股息的期權定價公式:C=S E-δT N(D1)-L E-γT N(D2)。自從B-S模型首次發表在journal of po political Economy(1973)上後，芝加哥期權交易所的交易員們立即意識到了它的重要性，並很快將B-S .這個公式的應用隨著計算機和通信技術的進步而擴大。如今，該模型及其壹些變體已被期權交易商、投資銀行、財務經理、保險公司等廣泛使用。衍生品的擴張使國際金融市場更有效率，但也使全球市場更加動蕩。新技術和新金融工具的創造加強了市場和市場參與者之間的相互依存關系，不僅在壹個國家內部，而且涉及其他國家甚至許多國家。因此，壹個市場或壹個國家的波動或金融危機極有可能迅速傳導到其他國家甚至整個世界經濟。中國金融體系不健全，資本市場不完善。但隨著改革的深入，向國際化靠攏，資本市場將繼續發展，交易所制度將日臻完善，企業將擁有更多的自主權，面臨更大的風險。因此，需要培育規避風險的金融衍生工具，也需要探索衍生市場，而人們才剛剛起步。