從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發生改變。 這種以時間作為參照來觀察動態世界的方法我們稱其為時域分析 。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，並且永遠不會靜止下來。但如果我告訴妳，用另壹種方法來觀察世界的話，妳會發現世界是永恒不變的，妳會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。
還是舉個栗子並且有圖有真相才好理解。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出壹個帶 90 度角的矩形波來，妳會相信嗎？妳不會，就像當年的我壹樣。但是看看下圖：
第壹幅圖是壹個郁悶的正弦波 cos（x）
第二幅圖是 2 個賣萌的正弦波的疊加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅圖是 4 個發春的正弦波的疊加
第四幅圖是 10 個便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成壹個標準的矩形，大家從中體會到了什麽道理？（只要努力，彎的都能掰直！）
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。壹個矩形就這麽疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成壹個標準 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓妳們猜著我？）
不僅僅是矩形，妳能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅裏葉分析的人在直覺上的第壹個難點，但是壹旦接受了這樣的設定，遊戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換壹個角度來看看：
在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而後面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向後排列開來，而每壹個波的振幅都是不同的。壹定有細心的讀者發現了，每兩個正弦波之間都還有壹條直線，那並不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。
這裏，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關鍵的地方來了！！
如果我們把第壹個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構建頻域的最基本單元。對於我們最常見的有理數軸，數字“1”就是有理數軸的基本單元。
（好吧，數學稱法為——基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，後面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）
時域的基本單元就是“1”秒，如果我們將壹個角頻率為ω0的正弦波cos（ω0t）看做基礎，那麽頻域的基本單元就是ω0。
有了“1”，還要有“0”才能構成世界，那麽頻域的“0”是什麽呢？cos（0t）就是壹個周期無限長的正弦波，也就是壹條直線！所以在頻域，0 頻率也被稱為直流分量，在傅裏葉級數的疊加中，它僅僅影響全部波形相對於數軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
接下來，讓我們回到初中，回憶壹下已經死去的八戒，啊不，已經死去的老師是怎麽定義正弦波的吧。
正弦波就是壹個圓周運動在壹條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為壹個始終在旋轉的圓。
介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看壹看壹個矩形波，在頻域裏的另壹個模樣了：
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書壹般就給到這裏然後留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補壹張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是—
再清楚壹點：
老實說，在我學傅裏葉變換時，維基的這個圖還沒有出現，那時我就想到了這種表達方法，而且，後面還會加入維基沒有表示出來的另壹個譜——相位譜。
但是在講相位譜之前，我們先回顧壹下剛剛的這個例子究竟意味著什麽。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經吐槽半天了。想象壹下，世界上每壹個看似混亂的表象，實際都是壹條時間軸上不規則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規律的事情反而是規律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是壹個旋轉的圓在直線上的投影。那麽妳的腦海中會產生壹個什麽畫面呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的後面有無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有壹個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻無法預測他下壹步會去哪。而幕布後面的齒輪卻永遠壹直那樣不停的旋轉，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我壹個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有壹天我學到了傅裏葉級數……
上壹章的關鍵詞是：從側面看。這壹章的關鍵詞是：從下面看。
在這壹章最開始，我想先回答很多人的壹個問題：傅裏葉分析究竟是幹什麽用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下壹個分割線。
先說壹個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們壹定對壹個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為壹個通道來進行信息傳輸。下面大家嘗試壹件事：
先在紙上畫壹個sin（x），不壹定標準，意思差不多就行。不是很難吧。好，接下去畫壹個sin（3x）+sin（5x）的圖形。別說標準不標準了，曲線什麽時候上升什麽時候下降妳都不壹定畫的對吧？
好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給妳，但是前提是妳不知道這個曲線的方程式，現在需要妳把sin（5x）給我從圖裏拿出去，看看剩下的是什麽。這基本是不可能做到的。但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅裏葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除壹些特定的頻率成分，這在工程上稱為 濾波 ，是信號處理最重要的概念之壹，只有在頻域才能輕松的做到。
再說壹個更重要，但是稍微復雜壹點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。但是求解微分方程卻是壹件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅裏葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。
傅裏葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。
下面我們繼續說相位譜：
通過時域到頻域的變換，我們得到了壹個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每壹個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺壹不可，不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要壹個相位譜。那麽這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。
鑒於正弦波是周期的，我們需要設定壹個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標註了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發現的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看妳的相位譜。”
註意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對於周期方波的傅裏葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得註意的是，由於cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
最後來壹張大集合：
傅裏葉變換實際上是對壹個周期無限大的函數進行傅裏葉變換。
所以說，鋼琴譜其實並非壹個連續的頻譜，而是很多在時間上離散的頻率，但是這樣的壹個貼切的比喻真的是很難找出第二個來了。
因此在傅裏葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續譜。那麽連續譜是什麽樣子呢？
妳見過大海麽？
為了方便大家對比，我們這次從另壹個角度來看頻譜，還是傅裏葉級數中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜，那麽連續譜是什麽樣子呢？
盡情的發揮妳的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續……
直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計算參數，而是選擇了壹些讓圖片更美觀的參數，不然這圖看起來就像屎壹樣了。
不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應該可以理解如何從離散譜變成了連續譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。所以在計算上也從求和符號變成了積分符號。
不過，這個故事還沒有講完，接下去，我保證讓妳看到壹幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這裏需要介紹到壹個數學工具才能然故事繼續，這個工具就是——
虛數i這個概念大家在高中就接觸過，但那時我們只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意義是什麽呢?
這裏有壹條數軸，在數軸上有壹個紅色的線段，它的長度是1。當它乘以 3 的時候，它的長度發生了變化，變成了藍色的線段，而當它乘以-1 的時候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數軸上圍繞原點旋轉了 180 度。
我們知道乘-1 其實就是乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度，那麽乘壹次 i 呢——答案很簡單——旋轉了 90 度。
同時，我們獲得了壹個垂直的虛數軸。實數軸與虛數軸***同構成了壹個復數的平面，也稱復平面。這樣我們就了解到，乘虛數i的壹個功能——旋轉。
現在，就有請宇宙第壹耍帥公式歐拉公式隆重登場——
這個公式在數學領域的意義要遠大於傅裏葉分析，但是乘它為宇宙第壹耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等於 Pi 的時候。
經常有理工科的學生為了跟妹子表現自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數學之美：”石榴姐妳看，這個公式裏既有自然底數e，自然數 1 和0，虛數i還有圓周率 pi，它是這麽簡潔，這麽美麗啊！“但是姑娘們心裏往往只有壹句話：”臭屌絲……“
這個公式關鍵的作用，是將正弦波統壹成了簡單的指數形式。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是壹個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了壹條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是壹個最基礎的余弦函數。而右側的投影則是壹個正弦函數。
關於復數更深的理解，大家可以參考：
復數的物理意義是什麽？
這裏不需要講的太復雜，足夠讓大家理解後面的內容就可以了。
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。而螺旋線的疊加如果用壹個形象的栗子來理解是什麽呢？
光波
高中時我們就學過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三棱鏡實驗：
所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是並沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是，傅裏葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率範圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。
這裏，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第壹種前面已經講過了，就是螺旋線在實軸的投影。
另壹種需要借助歐拉公式的另壹種形式去理解：
將以上兩式相加再除2，得到：
這個式子可以怎麽理解呢？
我們剛才講過，e^(it)可以理解為壹條逆時針旋轉的螺旋線，那麽 e^(-it)則可以理解為壹條順時針旋轉的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的壹半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！
舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。
這裏，逆時針旋轉的我們稱為正頻率，而順時針旋轉的我們稱為負頻率（註意不是復頻率）。
好了，剛才我們已經看到了大海——連續的傅裏葉變換頻譜，現在想壹想，連續的螺旋線會是什麽樣子：
想象壹下再往下翻：
是不是很漂亮？
妳猜猜，這個圖形在時域是什麽樣子？
哈哈，是不是覺得被狠狠扇了壹個耳光。數學就是這麽壹個把簡單的問題搞得很復雜的東西。
順便說壹句，那個像大海螺壹樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負頻率的部分沒有顯示出來。
如果妳認真去看，海螺圖上的每壹條螺旋線都是可以清楚的看到的，每壹條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。
好了，講到這裏，相信大家對傅裏葉變換以及傅裏葉級數都有了壹個形象的理解了，我們最後用壹張圖來總結壹下：
好了，傅裏葉的故事終於講完了，下面來講講我的故事：
這篇文章第壹次被卸下來的地方妳們絕對猜不到在哪，是在壹張高數考試的卷子上。當時為了刷分，我重修了高數（上），但是後來時間緊壓根沒復習，所以我就抱著裸考的心態去了考場。但是到了考場我突然意識到，無論如何我都不會比上次考的更好了，所以幹脆寫壹些自己對於數學的想法吧。於是用了壹個小時左右的時間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第壹草稿。
妳們猜我的了多少分？
6 分
沒錯，就是這個數字。而這 6 分的成績是因為最後我實在無聊，把選擇題全部填上了C，應該是中了兩道，得到了這寶貴的 6 分。說真的，我很希望那張卷子還在，但是應該不太可能了。
那麽妳們猜猜我第壹次信號與系統考了多少分呢？
45 分
沒錯，剛剛夠參加補考的。但是我心壹橫沒去考，決定重修。因為那個學期在忙其他事情，學習真的就拋在腦後了。但是我知道這是壹門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，信號與系統這門課幾乎是大部分工科課程的基礎，尤其是通信專業。
在重修的過程中，我仔細分析了每壹個公式，試圖給這個公式以壹個直觀的理解。雖然我知道對於研究數學的人來說，這樣的學習方法完全沒有前途可言，因為隨著概念愈加抽象，維度越來越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對於壹個工科生來說，足夠了。
後來來了德國，這邊學校要求我重修信號與系統時，我徹底無語了。但是沒辦法，德國人有時對中國人就是有種藐視，覺得妳的教育不靠譜。所以沒辦法，再來壹遍吧。
這次，我考了滿分，而及格率只有壹半。
老實說，數學工具對於工科生和對於理科生來說，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會用，會查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數學課程教給數學系的老師去教。這樣就出現壹個問題，數學老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學生心裏就只有壹句話：學這貨到底幹嘛用的？
缺少了目標的教育是徹底的失敗。
在開始學習壹門數學工具的時候，學生完全不知道這個工具的作用，現實涵義。而教材上有只有晦澀難懂，定語就二十幾個字的概念以及看了就眼暈的公式。能學出興趣來就怪了！
好在我很幸運，遇到了大連海事大學的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索，壹條從上而下，壹條從下而上。先將本門課程的意義，然後指出這門課程中會遇到哪樣的問題，讓學生知道自己學習的某種知識在現實中扮演的角色。然後再從基礎講起，梳理知識樹，直到延伸到另壹條線索中提出的問題，完美的銜接在壹起！
這樣的教學模式，我想才是大學裏應該出現的。
最後，寫給所有給我點贊並留言的同學。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能壹壹回復。因為知乎專欄的留言要逐次加載，為了看到最後壹條要點很多次加載。當然我都堅持看完了，只是沒辦法壹壹回復。
本文只是介紹了壹種對傅裏葉分析新穎的理解方法，對於求學，還是要踏踏實實弄清楚公式和概念，學習，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思壹些。
最後，祝大家都能在學習中找到樂趣…