Y = β0 + β1*X + ε
其中y為因變量，x為自變量，β0為截距，β1為斜率，ε為誤差項。
截距表示自變量x等於零時因變量y的預測值。截距項β0可用最小二乘法估計。
截距公式為:
β0 = Y平均值-β1 * X平均值
其中，y的平均值代表因變量y的觀測值的平均值，x的平均值代表自變量x的觀測值的平均值
截距項的存在在線性回歸模型中非常重要，它使得線性回歸模型不僅具有描述自變量對因變量影響的斜率，還包含壹個常數項來表示自變量為零時的基準水平。
截距的計算方法
1.首先，我們需要收集自變量和因變量的觀測數據。
2.計算自變量和因變量的平均值，分別記為X平均值和Y平均值。
3.然後，計算斜率的估計值(β1)。斜率的估計值可以用最小二乘法得到，表示自變量單位變化對因變量的影響。
4.最後，使用以下公式計算截距的估計值(β0):
β0 = Y平均值-β1 * X平均值
其中，y的平均值和x的平均值分別代表因變量和自變量的觀測值的平均值。
註意，上述計算方法是基於最小二乘法的簡單線性回歸模型。對於復雜的多元線性回歸模型，截距的計算方法會有所不同，需要通過矩陣運算或者統計軟件進行估計。
截距公式的應用
截距公式在線性回歸模型中的應用，主要用於計算預測值，說明模型的基準水平。
1.預測值:截距項允許在自變量為零時計算因變量的預測值。將自變量的觀測值插入回歸模型，加上截距項，就可以計算出相應因變量的預測值。這對於根據已有的自變量數據預測因變量的值非常有用。
2.解釋基準水平:截距項表示自變量為零時因變量的基準水平或基準值。在許多情況下，如果自變量沒有明確的絕對零點，截距項提供了壹個參考點來解釋因變量的基準水平。
截距公式示例
假設我們正在研究身高(自變量)和體重(因變量)之間的關系，並收集以下數據:
高度(x): [160，165，170，175，180](單位:厘米)
重量(y): [50，55，60，65，70](單位:千克)
我們想建立壹個簡單的線性回歸模型來預測體重，其中身高是自變量，體重是因變量。
根據截距公式，我們可以進行如下計算:
1.計算平均值:
x平均值=(160+165+170+175+180)/5 = 170。
y平均值= (50+55+60+65+70)/5 = 60。
2.計算斜率(β1):
斜率β1是用最小二乘法計算的，這裏不求導直接給出結果:
β1 ≈ 0.3438
3.計算截距(β0):
β0 = Y平均值-β1 * X平均值
≈ 60 - 0.3438 * 170
≈ 60 - 58.375
≈ 1.625
因此，根據截距公式，我們得到線性回歸模型:y = 1.625+0.3438 * x。
利用這個線性回歸模型，我們可以根據給定的身高來預測相應的體重。例如，如果壹個人的身高為175 cm，則使用該模型進行預測計算:
y = 1.625+0.3438 * 175≈60.438
所以根據模型預測，身高175 cm的人體重約為60.438 kg。
這是截距公式在線性回歸中的應用過程。