時域分析： 出生，以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、 隨著時間變 。
頻域 ：靜止的世界， 世界是永恒不變的
音樂在 時域的樣子 ：時間變化的震動
頻域：樂器小能手直觀的理解：
傅裏葉同學： 任何周期函數 ，可以作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加，組合出任何壹首樂曲。
傅裏葉分析 ：貫穿 時域與頻域 的方法之壹，分為傅裏葉 級數 （Fourier Serie）和傅裏葉 變換 (Fourier Transformation)
（1） 正弦波 cos （x）
（2）正弦波的 疊加 cos (x) +a.cos (3x)
（3） 發春 的正弦波的 疊加
（4） 10 個正弦波的 疊加
上升 的部分： 變陡 ，中間下降的部分： 變平 。 無窮多個 疊加變 90 度 矩形， 換壹個角度看：
不同顏色正弦波： 矩形波 的各個 分量，頻率分量 。頻率從低到高從前向後。壹定有細心的讀者發現了，
每兩個之間有 直線 ：0振幅正弦波， 為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的 ？
關鍵：
最低的頻率分量看作“1”（基本單元）
有理數軸 ，數字“1”就是基本單元。數學稱法為—— 基
時域基本單元 ： “1秒” ，如果將 壹個角頻率 為 W0 的正弦波 cos（W0t） 看作基礎，那麽 頻域的基本單元就是W0.
有了“1”，還要有“0”才能構成世界: 頻域的“0” ：cos（0t） 周期無限長的正弦波（壹條直線）
在頻域中， 0頻率 也被稱為 直流分量 ，傅裏葉級數 疊加中 ：波形相對於數軸 整體向上或是向下 而 不改變 波的形狀。
正弦波就是壹個圓周運動在壹條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為壹個始終在旋轉的圓
想看動圖的同學請戳這裏：
File:Fourier series square wave circles animation.gif
頻域裏：矩形波
頻譜中，偶數項的振幅都是0，對應彩色直線
老實說，在我學傅裏葉變換時，維基的這個圖還沒有出現，那時我就想到了這種表達方法，而且，後面還會加入維基沒有表示出來的另壹個譜——相位譜。
世界就像皮影戲的大幕布，幕後無數的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有壹個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規律的在幕布前表演，卻 無法預測他下壹步 會去哪。而幕布後面的 齒輪 卻永遠 壹直那樣 不停的旋轉，永不停歇。
上壹章：從側面看。這壹章：從下面看。
(1)頻道 （廣播、電視）：頻率的通道，將 不同的頻率 作為通道來 信息傳輸 。
把sin（5x）給我從圖裏拿出去，不可能做到。
頻域 ： 簡單的很 ，幾條豎線而已。 so需要傅裏葉變換
ps:從 曲線中 去除壹些特定的 頻率 成分，稱為 濾波(信號處理) ，頻域才能做到。
(2)解微分方程 。
通過時域到頻域的變換 ，我們得到了壹個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每壹個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中， 振幅，頻率，相位 缺壹不可， 不同相位決定了波的位置
正弦波是周期的， 小紅點 ： 正弦波位置 、 距離頻率軸 最近的 波峰 ， 粉點：波峰 距離 頻率軸 的距離， 不是相位
相位差：時間差在壹個周期中所占的比例 （如果將 全部周期 看作 2Pi或360度 的話）， 相位差 = (時間差/周期)*2Pi
相位譜 中的相位 除了0，就是Pi 。因為 cos（t+Pi）=-cos（t） ，所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對於周期方波的傅裏葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得註意的是，由於cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和 3pi，5pi，7pi 都是 相同的相位 。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
公式錯誤：
傅裏葉級數的本質： 周期的信號 分解成 無限多分開的（離散的）正弦波 ， 宇宙似不是周期
數字信號處理的時候寫過壹首打油詩：
往昔連續非周期，
回憶周期不連續，
任妳ZT、DFT，
還原不回去。
往昔 是壹個 連續 的 非周期 信號， 回憶 是壹個周期 離散信號 。
比如傅裏葉級數， 時域 ： 周期且連續 的函數， 頻域：非周期離散 的函數。第壹章的圖片。
時域非周期的連續信號， 轉換 為壹個在頻域非周期的連續信號。
傅裏葉變換 ： 周期無限大的 函數進行傅裏葉變換。
連續譜：離散譜的疊加，變成了連續譜的累積。計算上也從 求和符號 變成了 積分符號 。
虛數i：-1 的平方根 ，真正的意義：
紅色的線段，長度是1。乘以 3 = 藍色的線段，乘以-1 = 綠色的線段（原點旋轉了 180 度）。
乘了兩次 i 使線段旋轉了 180 度， 乘壹次 i = 旋轉了 90 度
乘虛數i = 旋轉， 歐拉公式：
這個公式在數學領域的意義要遠大於傅裏葉分析，但是乘它為宇宙第壹耍帥公式是因為它的特殊形式——當x等於 Pi 的時候。
經常有理工科的學生為了跟妹子表現自己的學術功底，用這個公式來給妹子解釋數學之美：”石榴姐妳看，這個公式裏既有自然底數e，自然數 1 和0，虛數i還有圓周率 pi，它是這麽簡潔，這麽美麗啊！“但是姑娘們心裏往往只有壹句話：”臭屌絲……“
這個公式關鍵的作用，是將正弦波統壹成了簡單的指數形式。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是壹個隨著時間變化，在復平面上做圓周運動的點，隨著時間的改變，在時間軸上就成了壹條螺旋線。如果只看它的實數部分，也就是螺旋線在左側的投影，就是壹個最基礎的余弦函數。而右側的投影則是壹個正弦函數。
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實數空間的投影。而螺旋線的疊加如果用壹個形象的栗子來理解是什麽呢？
光波
高中時我們就學過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實驗就是牛頓師傅的三棱鏡實驗：
所以其實我們在很早就接觸到了光的頻譜，只是並沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是，傅裏葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率範圍有限的疊加，而是頻率從 0 到無窮所有頻率的組合。
這裏，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第壹種前面已經講過了，就是螺旋線在實軸的投影。
另壹種需要借助歐拉公式的另壹種形式去理解：
將以上兩式相加再除2，得到：
這個式子可以怎麽理解呢？
我們剛才講過，e^(it)可以理解為壹條逆時針旋轉的螺旋線，那麽e^(-it)則可以理解為壹條順時針旋轉的螺旋線。而 cos (t)則是這兩條旋轉方向不同的螺旋線疊加的壹半，因為這兩條螺旋線的虛數部分相互抵消掉了！
舉個例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。
這裏，逆時針旋轉的我們稱為正頻率，而順時針旋轉的我們稱為負頻率（註意不是復頻率）。
好了，剛才我們已經看到了大海——連續的傅裏葉變換頻譜，現在想壹想，連續的螺旋線會是什麽樣子：
僅展示了正頻率的部分
每壹條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉半徑），頻率（旋轉周期）以及相位。將所有螺旋線連成平面