本文將解釋單變量和多變量金融時間序列的不同模型，特別是條件均值、條件協方差矩陣和波動率模型。
平均值模型
本節討論條件均值模型。
Iid模型
讓我們從壹個簡單的iid模型開始。Iid模型假設對數收益率xt是壹個n維高斯時間序列:
均值和協方差矩陣的樣本估計量分別是樣本均值。
和樣本協方差矩陣。
我們從生成數據開始，熟悉這個過程，並確保估計過程給出正確的結果(即完整性檢查)。然後用真實的市場數據，擬合不同的模型。
讓我們生成合成iid數據，並估計均值和協方差矩陣:
#生成綜合收益數據X
現在，讓我們對不同數量的觀測值t再做壹次:
#首先生成所有數據x
Plot (t _ sweep，error _ sigma _ vs _ tmain =“sigma估算中的誤差”，ylab =“誤差”。
單變量ARMA模型
ARMA(p，q)模型對對數收益率xt為
其中wt是均值為零、方差為σ2的白噪聲序列。模型的參數是系數嗎？I、θi和噪聲方差σ2。
請註意，ARIMA(p，d，q)模型是具有d階時差的ARMA(p，q)模型。所以，如果我們用xt代替對數價格，那麽之前的對數收益模型其實就是ARIMA(p，1，Q)模型，因為壹旦對數價格不同，我們就會得到對數收益。
Rugarch生成數據？
我們將使用rugarch包？生成單變量ARMA數據，估計參數並進行預測。
首先，我們需要定義模型:
#用給定的系數和參數指定AR(1)模型# >；# & gt*-* # & gt；* ?ARFIMA型號規格？* # & gt*-* # & gt；條件平均動力學# & gt-# >；刻薄的模特？:ARFIMA(1，0，0)# & gt；Include Mean : TRUE # ># & gt條件分布# & gt-# >；發行:？norm # & gt包括傾斜:？FALSE # & gt包括形狀？: ?FALSE # & gt包括Lambda？: ?FALSE # & gt？固定水平包括估計LB UB# >mu 0.01 1？10na NA # >；ar1？-0.90 1 ?10na NA # >；馬0.00 0？0 0 NA NA # >；阿爾菲馬0.00 0？0 0 NA NA # >；archm 0.00 0？0 0 NA NA # >；mxreg 0.00 0？0 0 NA NA # >；西格瑪0.20 1？10na NA # >；阿爾法0.00 0？0 0 NA NA # >；貝塔？0.00 0 ?0 0 NA NA # >；伽馬0.00 0？0 0 NA NA # >；eta1？0.00 0 ?0 0 NA NA # >；eta2？0.00 0 ?0 0 NA NA # >；delta 0.00 0？0 0 NA NA # >；λ0.00 0？0 0 NA NA # >；vxreg 0.00 0？0 0 NA NA # >；歪斜？0.00 0 ?0 0 NA NA # >；形狀0.00 0？0 0 NA NA # >；ghlambda？0.00 0 ?0 0 NA NA # >；xi 0.00 0？0 0 NA NAfixed.pars# >$ mu # & gt[1] 0.01# ># & gt$ ar 1 # >；[1] -0.9# ># & gt$ sigma # >；[1]0.2 true _ params # & gt；穆？ar1西格瑪# >？0.01 -0.90 ?0.20
然後，我們可以生成壹個時間序列:
#模擬壹條路徑apath(spec，n.sim = T)#) #將其轉換為xts並繪制Plot (synth _ log _ returns，main = " ARMA模型的對數收益率" Plot (synth _ log _ prices，main = " ARMA模型的對數價格")。
ARMA模型
現在，我們可以估計參數(我們已經知道):
#指定AR(1)模型ARIMASPEC(平均值。model = list (ARMA order = c (1，0)，包含。mean = true)) #估算模型# >；？穆？ar1西格瑪# >？0.0083 ?-0.8887 ?0.1987 # >；穆？ar1西格瑪# >？0.01 -0.90 ?0.20
我們還可以研究樣本大小t對參數估計誤差的影響:
# loop for (T_ in T_sweep) {？estim _ coeffs _ vs _ T & lt- rbind(estim_coeffs_vs_T，coef(arma_fit))？error _ coeffs _ vs _ T & lt-rbind (error _ coeffs _ vs _ t，ABS(coef(ARMA _ fit)-true _ params)/true _ params)# Drawing mat plot(T _ sweep，estim _ coeffs _ vs _ t，main = "estimated ARMA coefficient "，xlab = "T "，ylab =
Matplot (t _ sweep，100 * error _ coeffs _ vs _ t，main = "估計ARMA系數的相對誤差"，xlab = "T "，ylab = "誤差(%)"，
首先，真μ幾乎為零，所以相對誤差可能會顯得不穩定。在T = 800個樣本之後，其他系數被很好地估計。
ARMA預測
為了進行健全性檢查，我們現在將比較兩個包。預測？然後呢。魯加奇的結果:
#指定AR(1)模型規格(平均值。model = list (ARMA order = c (1，0)，包含。均值=真)，固定。Pars = list (mu = 0.005，Ar1 =-0.9，sigma = 0.1)) #生成序列arfima(arma_fixed_spec，n . sim = 1000)@ path $ seriessim #指定並擬合模型spec (mean。模型=列表(armaorder = c (1，0)，包含。mean = true)) #使用包“預測”來擬合模型# >；非零均值ARIMA(1，0，0 # >；# & gt系數:# & gt？ar1 mean# >？-0.8982 ?0.0036# >s.e？0.0139 ?0.0017 # >；# & gtsigma^2估計為0.01004:？對數似然=881.6# >AIC=-1757.2？AICc=-1757.17？BIC=-1742.47#比較模型系數# & gt？ar1截距σ# >-0.898181148 ?0.003574781 ?0.100222964 # >；？穆？ar1西格瑪# >？0.003605805 -0.898750138 ?0.100199956
事實上，這兩個軟件包給出了相同的結果。
ARMA模型選擇？
在之前的實驗中，我們假設已知ARMA模型的階數，即p = 1，q = 0。事實上，順序是未知的，因此必須嘗試不同的順序組合。階數越高，擬合越好，但這必然會導致過擬合。已經開發了許多方法來懲罰復雜度的增加以避免過擬合，例如AIC、BIC、SIC、HQIC等。
#嘗試不同的組合#查看排名# & gtAR MA平均ARFIMA BIC收斂# >1 ?1 ?0 1 ?0 -0.38249098 1# >2 ?1 ?1 1 ?0-0.378831571 # >；3 ?2 ?0 1 ?0 -0.37736340 1# >4 ?1 ?2 1 ?0 -0.37503980 1# >5 ?2 ?1 1 ?0-0.37459177 1 # >；6 ?3 ?0 1 ?0-0.37164609 1 # >；7 ?1 ?3 1 ?0-0.37143480 1 # >；8 ?2 ?2 1 ?0-0.37107841 1 # >；9 ?3 ?1 1 ?0 -0.36795491 1# >10 ?2 ?3 1 ?0 -0.36732669 1# >11 ?3 ?2 1 ?0 -0.36379209 1# >12 ?3 ?3 1 ?0 -0.36058264 1# >13 ?0 ?3 1 ?0-0.11875575 1 # >；14 ?0 ?2 1 ?0 ?0.02957261 # >15 ?0 ?1 1 ?0 ?0.39326050 1# >16 ?0 ?0 1 ?0 ?1.17294875 1#選擇最好的armaOrder # & gtAR MA # & gt？1 ?0
在這種情況下，由於觀測值T = 1000的數量足夠大，因此可以正確地檢測出階數。相反，如果妳嘗試使用T = 200，檢測到的順序是p = 1，q = 3。
ARMA預測？
壹旦估計出ARMA模型參數？我？I和θ j，模型可用於預測未來值。例如，基於過去信息的xt預測為
並且預測誤差會是x t-x t = wt(假設參數已經估計出來)，它的方差是σ2。軟件包？魯加奇？使樣本外數據的預測變得簡單；
#估計模型(不包括樣本)coef(ARMA _ fit)# & gt；？穆？ar1西格瑪# >？0.007212069 -0.898745183 ?0.200400119#預測對數收益外全樣本Forecast _ log _ returns <-xts(ARMA _ Fore @ Forecast $ series for[1，]，dates _ out _ of _ sample) #恢復對數價格Prev _ log _ price
多元VARMA模型
VARMA(p，q)模型對xt的對數收益率為
其中wt是均值為零的白噪聲序列，協方差矩陣σ w，這個模型的參數是向量/矩陣系數？0，φ i，θ j和噪聲協方差矩陣σ w。
比較
讓我們先裝載S & P500:
#加載標準普爾500數據頭(SP500指數價格)# & gt？SP500 # & gt；2012-01-03 1277.06 # >；2012-01-04 1277.30 # >；2012-01-05 1281.06 # >；2012-01-06 1277.81 # >；2012-01-09 1280.70 # >；2012-01-101292.08 #準備訓練和測試數據logreturns _ trn
現在，我們用訓練數據(即對於t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn)來擬合不同的模型(請註意，樣本外數據被指示排除？out.sample = T_tst).特別的，我們會考慮iid模型，ar模型，ARMA模型以及壹些ARCH和GARCH模型(後面會更詳細的研究方差建模)。
#擬合內徑模型系數(iid _ fit)# & gt；？sigma # & gt0.0005712982 0.0073516993 mean(log returns _ trn)# & gt；[1]0.0005681388 SD(log returns _ trn)# & gt；[1]0.007360208 # Coef(AR _ FIT)擬合AR(1)模型# > mu？ar1西格瑪# >？0.0005678014 -0.0220185181 ?0.0073532716#擬合ARMA(2，2)模型系數(ARMA _ fit)# & gt；穆？ar1？ar2？ma1？ma2 sigma # >？0.0007223304 ?0.0268612636 ?0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 ?0.0072573570#擬合ARMA (1，1)+ARCH (1)模型COEF(ARCH _ FIT)# >；穆？ar1？ma 1ωα1 # >？6.321441e-04？8.720929 e-02-9.391019e-02？4.898885e-05？9.986975e-02#擬合ARMA(0，0)+ARCH(10)模型系數(long _ ARCH _ fit)# & gt；？mu歐米伽？alpha1？alpha2？alpha3？alpha4？alpha 5 # >；7.490786 e-04 2.452099 e-05 6.88561e-02 7.207551e-02 1.465438 e-09938 e-01.909541e-02 3.082806 e-02 # >？alpha6？alpha7？alpha8？alpha9？alpha 10 # >；4.026539 e-02 3.050040 e-07 9.260183 e-02 1.150128 e-01.1.068426 e-06 #擬合ARMA(。穆？ar1？ma 1ωα1β1 # >？6.660346e-04？9.664597 e-01-1.000000 e+00？7.066506e-06？1.257786e-01？7.470725e-01
我們使用不同的模型來預測對數收益率:
#準備預測樣本外期間的對數收益# i.i.d模型預測預測(IID _ FIT，n.ahead = 1，n.roll = t _ TST-1)？Dates _ out _ of _ sample)# AR(1)要預測的模型(AR _ FIT，N. ahead = 1，N. Roll = t _ tst-1)Dates _ out _ of _ sample)# ARMA(2)2)按模型預測(ARMA _ fit，n. ahead = 1，n . Roll = t _ tst-1)？Dates_out_of_sample)#使用ARMA (1，1)+ARCH (1)模型進行預測forecast (arch _ fit，n. ahead = 1，n. Roll = t _ tst-65438。Dates _ out _ of _ sample) # ARMA (0，0)+ARCH (10)模型預測(long _ ARCH _ FIT，n.ahead = 1，n . roll = T _ tst-1)dates _ out _ of _ sample)# ARMA(1，1)+GARCH (1)模型預測(garch_fit，n.ahead
我們可以計算不同模型(樣本內和樣本外)的預測誤差:
print(error _ var)# & gt；？樣本內樣本外# >iid 5.417266e-05？8.975710e-05# >AR(1)？5.414645e-05？9.006139e-05# >ARMA(2，2)？5.265204e-05？1.353213e-04 # >；ARMA(1，1)+ARCH(1)5.415836 e-05？8.983266e-05# >ARCH(10)？5.417266e-05？8.975710e-05# >ARMA(1，1) + GARCH(1，1) 5.339071e-05？9.244012e-05
我們可以觀察到，隨著模型復雜度的增加，樣本內誤差趨於減小(由於擬合數據的自由度更高)，雖然差異可以忽略。重要的實際上是樣本外誤差:我們可以看到，增加模型的復雜性可能會導致糟糕的結果。就預測收益的誤差而言，似乎最簡單的iid模型就足夠了。
最後，讓我們展示壹些樣本外誤差的圖表:
Plot(error，main = "不同模型的樣本外誤差"，
請註意，由於我們沒有重新擬合模型，隨著時間的發展，誤差越大(尤其是對ARCH建模)。
滾動窗口比較
我們先通過壹個簡單的例子比較壹下靜態預測和滾動預測的概念:
#ARMA(2，2)模型規格
我們可以清楚地觀察到滾動窗口過程對時間序列的影響。
現在，我們可以基於滾動窗口重做所有模型的所有預測:
#滾動預測Roll (IID _ spec，data = logreturns，n. ahead = 1，預測。length = t _ t # ar (1)基於i.i.d模型滾動預測roll(ar_spec，data = logreturns，N. ahead = 1，Forecast。length = t _ tst，# ARMA (2，2)模型滾動預測roll (ARMA _ spec，data = log returns，n. ahead = 1，forecast。length = t _ tst，# ARMA (1，1)+ARCH (1)滾動預測Roll (ARCH _ SPEC，data = LOG RETURNS，N. ahead = 1，forecast。長度= T _ TST，？Roll (long _ arch _ spec，data = log returns，n. ahead = 1，forecast。length = t _ tst)refine . every的模型= 50，refine.win # ARMA (0，0)+arch (10)，Refine。Every = 50，# ARMA (1，1)+GARCH (1，1)滾動預測滾動模型(GARCH _ SPEC，data = log returns，n.ahead = 1，forecast.length = T_tst，refit.every = 50，refit.window
我們來看看滾動基準情況下的預測誤差:
print(rolling _ error _ var)# & gt；？樣本內樣本外# >iid 5.417266e-05？8.974166e-05# >AR(1)？5.414645e-05？9.038057e-05# >ARMA(2，2)？5.265204e-05？8.924223e-05# >ARMA(1，1)+ARCH(1)5.415836 e-05？8.991902e-05# >ARCH(10)？5.417266e-05？8.976736e-05# >ARMA(1，1) + GARCH(1，1) 5.339071e-05？8.895682e-05
和壹些圖表:
Plot(error_logreturns，main = "不同模型的滾動預測誤差"，legend.loc = "topleft "。
我們可以看到現在所有的模型都符合時間序列。此外，我們沒有發現模型之間有任何顯著差異。
我們最後可以比較靜態誤差和滾動誤差:
Barplot (rbind (error _ var [，"樣本外"]，rolling _ error _ var [，"樣本外"]) Col = c("深藍"，"暗金棒")，Legend = c("靜態預測"，"滾動"。
我們可以看到滾動預測在某些情況下是必要的。因此，實際上我們需要定期改進滾動預測。
方差模型
ARCH和GARCH模型
對數收益率殘差wt的ARCH(m)模型為
其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪聲序列，條件方差σ2t建模為
其中m為模型階數，ω>；0，αi≥0為參數。
GARCH(m，s)模型通過使用σ2t上的遞歸項擴展了ARCH模型:
其中參數ω& gt；0，αi≥0，βj≥0需要滿足∑mi = 1αI+∑SJ = 1βJ≤1的穩定性。
Rugarch生成數據？
首先，我們需要定義模型:
#用給定的系數和參數指定GARCH模型# >；# & gt*-* # & gt；* ?GARCH模型規格？* # & gt*-* # & gt；# & gt條件方差動力學# & gt-# >；GARCH模型？:sGARCH(1，1)# >差異目標？:FALSE # & gt# & gt條件平均動力學# & gt-# >；刻薄的模特？:ARFIMA(1，0，0)# & gt；Include Mean : TRUE # >GARCH-in-Mean:FALSE # & gt；# & gt條件分布# & gt-# >；發行:？norm # & gt包括傾斜:？FALSE # & gt包括形狀？: ?FALSE # & gt包括Lambda？: ?FALSE # & gt？固定水平包括估計LB UB# >mu 0.005 1？10na NA # >；ar1？-0.900 1 ?10na NA # >；馬0.000？0 0 NA NA # >；阿爾菲馬0.000 0？0 0 NA NA # >；archm 0.000 0？0 0 NA NA # >；mxreg 0.000 0？0 0 NA NA # >；歐米茄0.001 1？10na NA # >；alpha1 0.300 1？10na NA # >；beta1 0.650 1？10na NA # >；伽馬0.000 0？0 0 NA NA # >；eta1？0.000 0 ?0 0 NA NA # >；eta2？0.000 0 ?0 0 NA NA # >；delta 0.000 0？0 0 NA NA # >；λ0.000 0？0 0 NA NA # >；vxreg 0.000 0？0 0 NA NA # >；歪斜？0.000 0 ?0 0 NA NA # >；形狀0.000？0 0 NA NA # >；ghlambda？0.000 0 ?0 0 NA NA # >；xi 0.000？0 0 NA NA # >；$ mu # & gt[1] 0.005# ># & gt$ ar 1 # >；[1] -0.9# ># & gt$ omega # >；[1] 0.001# ># & gt$ alpha 1 # >；[1] 0.3# ># & gt$ beta 1 # >；[1]0.65 true _ params # & gt；mu ar1？歐米茄alpha1？beta1 # >？0.005 -0.900 ?0.001 ?0.300 ?0.650
然後，我們可以生成產量時間序列:
# Simulate a path hpath(garch_spec，n . sim = T)# & gt；？Num [1: 2000，1]0.167-0.217 # Plot對數收益{plot (synthesis _ log _ returns，main =模型的對數收益"，lwd = 1.5。線條(synth_volatility
廣義自回歸條件異方差（GeneralizedAutoregressiveConditionalHeteroskedasticity）
現在，我們可以估計參數:
#指定GARCH模型ugarspec(平均值。model = list (ARMA order = c (1，0) #估計模型系數(GARCH _ fit)# & gt；穆？ar 1ωα1β1 # >？0.0036510100 -0.8902333595 ?0.0008811434 ?0.2810460728 ?0.6717486402 # >；mu ar1？歐米茄alpha1？beta1 # >？0.005 -0.900 ?0.001 ?0.300 ?0.650#系數誤差# & gt？穆？ar 1ω？alpha1 beta1 # >0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402
我們還可以研究樣本大小t對參數估計誤差的影響:
# loop for (T_ in T_sweep) {？garch_fit？error _ coeffs _ vs _ T & lt- rbind(error_coeffs_vs_T，ABS((coef(GARCH _ fit)-true _ params)/true _ params))？estim _ coeffs _ vs _ T & lt-rbind (estim _ coeffs _ vs _ t，coef(GARCH _ FIT))# Drawing mat plot(T _ sweep，100 * error _ coeffs _ vs _ t，main = "估計GARCH系數的相對誤差"，xlab = "T "，ylab =
真ω幾乎為零，所以誤差很不穩定。至於其他系數，和ARMA的情況壹樣，μ的估計真的很差(相對誤差超過50%)，而其他系數在T = 800個樣本後，估計似乎很好。
GARCH結果對比？
作為健全性檢查，我們現在將比較兩個軟件包？fGarch？然後呢。魯加奇的結果:
#指定帶有特定參數值的ARMA (0，0)-GARCH (1，1)作為數據生成過程garch_spec #生成長度為1000的數據路徑(GARCH _ fixed _ SPEC，n . SIM = 1000)@-ugar fit(SPEC = GARCH _ SPEC，data = x) #使用包“fGarch”擬合模型GARCH fit(formula = ~ GARCH(654333穆？歐米茄alpha1？beta1 # >0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595 # >；穆？歐米茄alpha1？beta1 # >0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.7391658 #標準差打印(head(fgarch _ fi # >；[1]0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994 print(head(rugar # & gt；[1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555
事實上，這兩個軟件包給出了相同的結果。
用rugarch包進行GARCH預測？
壹旦估計了GARCH模型的參數，就可以用該模型來預測未來值。例如，基於過去信息的條件方差的壹步預測為
給定ω/(1-∑Mi = 1αI-∑SJ = 1βJ)。軟件包？魯加奇？使樣本外數據的預測變得簡單；
#估計模型，排除樣本外GARCH _ fit coef(GARCH _ fit)# & gt；穆？ar 1ωα1β1 # >？0.0034964331 -0.8996287630 ?0.0006531088 ?0.3058756796 ?0.6815452241#預測整個樣本的對數收益GARCH _ Fore @ Forecast $ sigma for[1，] #對數收益圖plot(cbind("fitted "？= fitted(garch_fit)，main = "合成對數收益預測"，legend.loc = "topleft ")。
波動率對數收益圖的# plot(cbind("擬合波動率")？= sigma(garch_fit)，main = "預測合成對數回報的波動性"，legend.loc = "topleft ")。
不同的方法
讓我們先裝載S & P500:
#加載標準普爾500指數數據頭(SP500指數價格)# & gt？SP500 # & gt；2008-01-021447.16 # >2008-01-03 1447.16 # >2008-01-04 1411.63 # >；2008-01-07 1416.18 # >；2008-01-081390.19 # >；2008-01-09 1409 438+03 #準備訓練和測試數據x _ trn <-x[1:T _ trn]x _ tst & lt；-x[-c(1:T _ trn)]# Plot { Plot(x，main = "revenue "？AddEventLines(xts ("training "，在
常數
讓我們從常數開始:
Plot (cbind (sqrt (var _ constant)，x _ trn) main = "constant ")
移動平均數
現在，讓我們使用收益率平方的移動平均值:
Plot (cbind (sqrt (var _ t)，x _ trn)，main = "基於簡單滾動均方的包絡(時間段=20)。
EWMA
指數加權移動平均(EWMA):
註意，這也可以建模為ETS(A，n，n)狀態空間模型:
Plot(cbind(std_t，x_trn)，main = "基於平方EWMA的包絡")
乘法ETS
我們還可以嘗試ETS模型的不同變體。例如，具有狀態空間模型的乘性噪聲版本ETS(M，n，n ):