如果是初學者，覺得頭暈是正常的，沒關系，讓我們壹點點捋清楚。
讓我們先回到線性回歸，我們都知道，線性回歸當中 y = WX + b。我們通過W和b可以求出X對應的y，這裏的y是壹個連續值，是回歸模型對吧。但如果我們希望這個模型來做分類呢，應該怎麽辦？很容易想到，我們可以人為地設置閾值對吧，比如我們規定y > 0最後的分類是1，y < 0最後的分類是0。從表面上來看，這當然是可以的，但實際上這樣操作會有很多問題。
最大的問題在於如果我們簡單地設計壹個閾值來做判斷，那麽會導致最後的y是壹個分段函數，而分段函數不連續，使得我們沒有辦法對它求梯度，為了解決這個問題，我們得找到壹個平滑的函數使得既可以用來做分類，又可以解決梯度的問題。
很快，信息學家們找到了這樣壹個函數，它就是Sigmoid函數，它的表達式是：
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它的函數圖像如下：
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可以看到，sigmoid函數在x=0處取值0.5，在正無窮處極限是1，在負無窮處極限是0，並且函數連續，處處可導。sigmoid的函數值的取值範圍是0-1，非常適合用來反映壹個事物發生的概率。我們認為
σ(x) 表示x發生的概率，那麽x不發生的概率就是 1 - σ(x) 。我們把發生和不發生看成是兩個類別，那麽sigmoid函數就轉化成了分類函數，如果 σ(x) > 0.5 表示類別1，否則表示類別0.
到這裏就很簡單了，通過線性回歸我們可以得到
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也就是說我們在線性回歸模型的外面套了壹層sigmoid函數，我們通過計算出不同的y，從而獲得不同的概率，最後得到不同的分類結果。
損失函數
下面的推導全程高能，我相信妳們看完會三連的(點贊、轉發、關註)。
讓我們開始吧，我們先來確定壹下符號，為了區分，我們把訓練樣本當中的真實分類命名為y，y的矩陣寫成 Y 。同樣，單條樣本寫成 x , x 的矩陣寫成 X。單條預測的結果寫成 y_hat，所有的預測結果寫成Y_hat。
對於單條樣本來說，y有兩個取值，可能是1，也可能是0，1和0代表兩個不同的分類。我們希望 y = 1 的時候，y_hat 盡量大， y = 0 時， 1 - y_hat 盡量大，也就是 y_hat 盡量小，因為它取值在0-1之間。我們用壹個式子來統壹這兩種情況：
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我們代入壹下，y = 0 時前項為1，表達式就只剩下後項，同理，y = 1 時，後項為1，只剩下前項。所以這個式子就可以表示預測準確的概率，我們希望這個概率盡量大。顯然，P(y|x) > 0，所以我們可以對它求對數，因為log函數是單調的。所以 P(y|x) 取最值時的取值，就是 log P(y|x) 取最值的取值。
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我們期望這個值最大，也就是期望它的相反數最小，我們令
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這樣就得到了它的損失函數：
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如果知道交叉熵這個概念的同學，會發現這個損失函數的表達式其實就是交叉熵。交叉熵是用來衡量兩個概率分布之間的”距離“，交叉熵越小說明兩個概率分布越接近，所以經常被用來當做分類模型的損失函數。關於交叉熵的概念我們這裏不多贅述，會在之後文章當中詳細介紹。我們隨手推導的損失函數剛好就是交叉熵，這並不是巧合，其實底層是有壹套信息論的數學邏輯支撐的，我們不多做延伸，感興趣的同學可以了解壹下。
硬核推導
損失函數有了，接下來就是求梯度來實現梯度下降了。
這個函數看起來非常復雜，要對它直接求偏導算梯度過於硬核(危)，如果是許久不碰高數的同學直接肝不亞於硬抗葦名壹心。
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為了簡化難度，我們先來做壹些準備工作。首先，我們先來看下σ 函數，它本身的形式很復雜，我們先把它的導數搞定。
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因為 y_hat = σ(θX) ，我們將它帶入損失函數，可以得到，其中σ(θX)簡寫成σ(θ) ：
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接著我們求 J(θ) 對 θ 的偏導，這裏要代入上面對 σ(x) 求導的結論：
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代碼實戰
梯度的公式都推出來了，離寫代碼實現還遠嗎？
不過巧婦難為無米之炊，在我們擼模型之前，我們先試著造壹批數據。
我們選擇生活中壹個很簡單的場景——考試。假設每個學生需要參加兩門考試，兩門考試的成績相加得到最終成績，我們有壹批學生是否合格的數據。希望設計壹個邏輯回歸模型，幫助我們直接計算學生是否合格。
為了防止sigmoid函數產生偏差，我們把每門課的成績縮放到(0, 1)的區間內。兩門課成績相加超過140分就認為總體及格。
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這樣得到的訓練數據有兩個特征，分別是學生兩門課的成績，還有壹個偏移量1，用來記錄常數的偏移量。
接著，根據上文當中的公式，我們不難(真的不難)實現sigmoid以及梯度下降的函數。
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這段函數實現的是批量梯度下降，對Numpy熟悉的同學可以看得出來，這就是在直接套公式。
最後，我們把數據集以及邏輯回歸的分割線繪制出來。
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最後得到的結果如下：
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隨機梯度下降版本
可以發現，經過了1萬次的叠代，我們得到的模型已經可以正確識別所有的樣本了。
我們剛剛實現的是全量梯度下降算法，我們還可以利用隨機梯度下降來進行優化。優化也非常簡單，我們計算梯度的時候不再是針對全量的數據，而是從數據集中選擇壹條進行梯度計算。
基本上可以復用梯度下降的代碼，只需要對樣本選取的部分加入優化。
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我們設置叠代次數為2000，最後得到的分隔圖像結果如下：
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當然上面的代碼並不完美，只是壹個簡單的demo，還有很多改進和優化的空間。只是作為壹個例子，讓大家直觀感受壹下：其實自己親手寫模型並不難，公式的推導也很有意思。這也是為什麽我會設置高數專題的原因。CS的很多知識也是想通的，在學習的過程當中靈感迸發旁征博引真的是非常有樂趣的事情，希望大家也都能找到自己的樂趣。
今天的文章就是這些，如果覺得有所收獲，請順手點個關註或者轉發吧，妳們的舉手之勞對我來說很重要。
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