1. 和、差、倍、分問題：
（1）倍數關系：通過關鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……”來體現。
（2）多少關系：通過關鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余……”來體現。
例1.根據2001年3月28日新華社公布的第五次人口普查統計數據，截止到2000年11月1日0時，全國每10萬人中具有小學文化程度的人口為35701人，比1990年7月1日減少了3.66%，1990年6月底每10萬人中約有多少人具有小學文化程度？
分析：等量關系為：
解：設1990年6月底每10萬人中約有x人具有小學文化程度
答：略.
2. 等積變形問題：
“等積變形”是以形狀改變而體積不變為前提。常用等量關系為：
①形狀面積變了，周長沒變；
②原料體積＝成品體積。
例2. 用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向壹個由底面積為 內高為81mm的長方體鐵盒倒水時，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（結果保留整數 ）
分析：等量關系為：圓柱形玻璃杯體積＝長方體鐵盒的體積
下降的高度就是倒出水的高度
解：設玻璃杯中的水高下降xmm
答：略.
3. 勞力調配問題：
這類問題要搞清人數的變化，常見題型有：
（1）既有調入又有調出；
（2）只有調入沒有調出，調入部分變化，其余不變；
（3）只有調出沒有調入，調出部分變化，其余不變。
例3. 機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成壹套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？
分析：列表法。
每人每天 人數 數量
大齒輪 16個 x人 16x
小齒輪 10個 人
等量關系：小齒輪數量的2倍＝大齒輪數量的3倍
解：設分別安排x名、 名工人加工大、小齒輪
答：略.
4. 比例分配問題：
這類問題的壹般思路為：設其中壹份為x，利用已知的比，寫出相應的代數式。
常用等量關系：各部分之和＝總量。
例4. 三個正整數的比為1：2：4，它們的和是84，那麽這三個數中最大的數是幾？
解：設壹份為x，則三個數分別為x，2x，4x
分析：等量關系：三個數的和是84
答：略.
5. 數字問題
（1）要搞清楚數的表示方法：壹個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c（其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）則這個三位數表示為：100a+10b+c。
（2）數字問題中壹些表示：兩個連續整數之間的關系，較大的比較小的大1；偶數用2N表示，連續的偶數用2n+2或2n—2表示；奇數用2n+1或2n—1表示。
例5. 壹個兩位數，個位上的數是十位上的數的2倍，如果把十位與個位上的數對調，那麽所得的兩位數比原兩位數大36，求原來的兩位數
等量關系：原兩位數+36=對調後新兩位數
解：設十位上的數字X，則個位上的數是2x，
10×2x+x=（10x+2x）+36解得x=4，2x=8.
答：略.
6. 工程問題：
工程問題中的三個量及其關系為：工作總量=工作效率×工作時間
經常在題目中未給出工作總量時，設工作總量為單位1。
例6. 壹件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天後，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？
分析設工程總量為單位1，等量關系為：甲完成工作量+乙完成工作量=工作總量。
解：設乙還需x天完成全部工程，設工作總量為單位1，由題意得，(115+112)×3+x12=1， 解這個方程，15+14+x12=1
12+15+5x=60 5x=33 ∴ x=335=635
答：略.
7. 行程問題：
（1）行程問題中的三個基本量及其關系： 路程=速度×時間。
（2）基本類型有
① 相遇問題；② 追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環形跑道問題。
（3）解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，壹般情況下問題就能迎刃而解。並且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。
例7. 甲、乙兩站相距480公裏，壹列慢車從甲站開出，每小時行90公裏，壹列快車從乙站開出，每小時行140公裏。
（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時後兩車相遇？
（2）兩車同時開出，相背而行多少小時後兩車相距600公裏？
（3）兩車同時開出，慢車在快車後面同向而行，多少小時後快車與慢車相距600公裏？
（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的後面，多少小時後快車追上慢車？
（5）慢車開出1小時後兩車同向而行，快車在慢車後面，快車開出後多少小時追上慢車？
此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。
（1）分析：相遇問題，畫圖表示為：
等量關系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公裏。
解：設快車開出x小時後兩車相遇，由題意得，140x+90(x+1)=480
解這個方程，230x=390
∴ x=11623
答：略.
分析：相背而行，畫圖表示為：
等量關系是：兩車所走的路程和+480公裏=600公裏。
解：設x小時後兩車相距600公裏，
由題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230x=120
∴ x=1223
答：略.
（3）分析：等量關系為：快車所走路程－慢車所走路程+480公裏=600公裏。
解：設x小時後兩車相距600公裏，由題意得，(140－90)x+480=600 50x=120
∴ x=2.4
答：略.
分析：追及問題，畫圖表示為：
等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公裏。
解：設x小時後快車追上慢車。
由題意得，140x=90x+480
解這個方程，50x=480∴ x=9.6
答：略.
分析：追及問題，等量關系為：快車的路程=慢車走的路程+480公裏。
解：設快車開出x小時後追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480
50x=570解得， x=11.4
答：略.
8. 利潤贏虧問題
（1）銷售問題中常出現的量有：進價、售價、標價、利潤等
（2）有關關系式：
商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價
商品利潤率=商品利潤/商品進價
商品售價=商品標價×折扣率
例8. 壹家商店將某種服裝按進價提高40%後標價，又以8折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？
分析：探究題目中隱含的條件是關鍵，可直接設出成本為X元
進價 折扣率 標價 優惠價 利潤
x元 8折 （1+40%）x元 80%（1+40%）x 15元
等量關系：（利潤=折扣後價格—進價）折扣後價格－進價=15
解：設進價為X元，80%X（1+40%）—X=15，X=125
答：略.
9. 儲蓄問題
⑴ 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅
⑵ 利息=本金×利率×期數
本息和=本金+利息
利息稅=利息×稅率（20%）
例9. 某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年後***得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）
分析：等量關系：本息和=本金×（1+利率）
解：設半年期的實際利率為x，
250（1+x）=252.7，
x=0.0108
所以年利率為0.0108×2=0.0216
壹元壹次方程提高測試題
壹、綜合題(每題6分，***42分)
1．若(3x＋1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a5－a4＋a3－a2＋a1－a0和a4＋a2＋a0的值分別為多少?
2．若使方程ax－6＝8 有無窮多解，則a應取何值?
3．若x＝－8是方程3x＋8＝ －a的解，求a2－4a的值．
4．如果把分數 的分子、分母分別加上正整數a，b，結果等於 ，那麽a＋b的最小值是多少?
5．在有理數集合裏定義運算“※”，其規則為a※b＝ －b．試求(x※3)※2＝1的解．
6．有壹列數為1，4，7，10，…，則第n個數是多少?在這列數中取出三個連續數，其和為48，問這三個數分別是多少? (其中n是正整數)
7．在壹個內徑(內部直徑)為10 cm，高為25 cm的圓柱形鐵桶中裝有20 cm深的水，現將棱長為5 cm的正方體鐵塊放入鐵桶中，則桶中的水位會上升多少厘米?若放入鐵桶中的是底面直徑為6 cm，高為20 cm的鐵塊，則鐵桶中的水是否會溢出?為什麽?
二、應用題(每題7分，***42分)
8．某村有甲、乙兩生產小組，2002年總產量為10萬千克，采用科學種田後，2003年甲組增產10％，乙組增產15％．如果整個村2003年比2002年增產12％，求2003年甲、乙兩組各生產糧食多少萬千克．
9．壹件工作甲單獨做用10天，乙單獨做用12天，丙單獨做用15天；甲、丙先做2天後，甲離去，丙又單獨做了3天後，乙也參加進來，問還需幾天才能完成?
10．甲、乙、丙三人在長400 m的環形跑道上，同時同地分別以每秒6m、4m、8 m的速度跑步出發，並且甲、乙反向，甲、丙同向．當丙遇到乙時，即反向迎甲而跑，遇上乙時，又反向迎乙，如此練習下去，直到甲、乙、丙三人相遇為止，求丙跑了多少米．
11．某公司有甲、乙兩個工程隊，甲隊人數比乙隊人數的 多28人，現因任務需要，從乙隊調走20人到甲隊，這時甲隊人數是乙隊人數的2倍，求甲、乙兩隊原來各有多少人．
12．12時，時針、分針、秒針三針重合，問至少經過多長時間，秒針把時針、分針形成的夾角平分?
13．A、B兩地間路程為360 km，甲車從A地出發開往B地，每小時行駛72 km；甲車出發25 min後，乙車從B地出發開往A地，每小時行駛48 km．兩車相遇後，各自仍按原速度原方向繼續行駛，那麽相遇以後兩車相距100 km時，甲車從出發開始***行駛了多少時間?
三、創新題(每題7分，***14分)
14．某手表每小時比標準時間慢3分鐘，若在淩晨4時30分與標準時間對準，則當天上午該手表指示的時間是10時50分時，標準時間是多少?
15．壹組割草人要把兩片草地割完，大片是小片的2倍，上午人們都在大的壹片上割草，午後人們對半分開，壹半人仍留在大草地上，另壹半去割小的壹片，到傍晚時，大的壹片剛好割完，小的壹片還剩下壹小塊，這壹小塊由壹人用壹整天剛好割完，問這組割草人有多少人?
四、中考題(2分)
16．(2006?青島)某商店的老板銷售壹種商品，他要以不低於進價20％的價格才能出售，但為了獲得更多利潤，他以高出進價80％的價格標價，若妳想買下標價為360元的這種商品，最多降價( )，商店老板才能出售．
A．80元 B．100元 C．120元 D．160元
附加題——競賽趣味題(20分)
有壹個六位數，1 ，它乘3以後得到六位數 ，求這個六位數．
知能點1：市場經濟、打折銷售問題
（1）商品利潤＝商品售價－商品成本價 （2）商品利潤率＝ ×100%
（3）商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量（4）商品的銷售利潤＝（銷售價－成本價）×銷售量
（5）商品打幾折出售，就是按原價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原價的80%出售．
1. 某商店開張，為了吸引顧客，所有商品壹律按八折優惠出售，已知某種皮鞋進價60元壹雙，八折出售後商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標價是多少元？優惠價是多少元？
2. 壹家商店將某種服裝按進價提高40%後標價，又以8折優惠賣出，結果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少？
3.壹家商店將壹種自行車按進價提高45%後標價，又以八折優惠賣出，結果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元？若設這種自行車每輛的進價是x元，那麽所列方程為（ ）
A.45%×（1+80%）x-x=50 B. 80%×（1+45%）x - x = 50
C. x-80%×（1+45%）x = 50 D.80%×（1-45%）x - x = 50
4．某商品的進價為800元，出售時標價為1200元，後來由於該商品積壓，商店準備打折出售，但要保持利潤率不低於5%，則至多打幾折．
5．壹家商店將某種型號的彩電先按原售價提高40%，然後在廣告中寫上“大酬賓，八折優惠”．經顧客投拆後，拆法部門按已得非法收入的10倍處以每臺2700元的罰款，求每臺彩電的原售價．
知能點2： 方案選擇問題
6．某蔬菜公司的壹種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工後銷售，每噸利潤可達4500元，經精加工後銷售，每噸利潤漲至7500元，當地壹家公司收購這種蔬菜140噸，該公司的加工生產能力是： 如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：
方案壹：將蔬菜全部進行粗加工．
方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售．
方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，並恰好15天完成．
妳認為哪種方案獲利最多？為什麽？
7．某市移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳50元月基礎費，然後每通話1分鐘，再付電話費0.2元；“神州行”不繳月基礎費，每通話1分鐘需付話費0.4元（這裏均指市內電話）．若壹個月內通話x分鐘，兩種通話方式的費用分別為y1元和y2元．
（1）寫出y1，y2與x之間的函數關系式（即等式）．
（2）壹個月內通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同？
（3）若某人預計壹個月內使用話費120元，則應選擇哪壹種通話方式較合算？
8．某地區居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費。（1）某戶八月份用電84千瓦時，***交電費30.72元，求a．
（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份***用電多少千瓦時？應交電費是多少元？
9．某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．
（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機***50臺，用去9萬元，請妳研究壹下商場的進貨方案．
（2）若商場銷售壹臺A種電視機可獲利150元，銷售壹臺B種電視機可獲利200元，銷售壹臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，妳選擇哪種方案？
10.小剛為書房買燈。現有兩種燈可供選購，其中壹種是9瓦的節能燈，售價為49元/盞，另壹種是40瓦的白熾燈，售價為18元/盞。假設兩種燈的照明效果壹樣，使用壽命都可以達到2800小時。已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元。
(1).設照明時間是x小時，請用含x的代數式分別表示用壹盞節能燈和用壹盞白熾燈的費用。（費用=燈的售價+電費）
(2).小剛想在這種燈中選購兩盞。假定照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時。請妳設計壹種費用最低的選燈照明方案，並說明理由。
知能點3儲蓄、儲蓄利息問題
(1）顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅
(2）利息=本金×利率×期數 本息和=本金+利息 利息稅=利息×稅率（20%）
(3）
11. 某同學把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年後***得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）
壹年 2.25
三年 2.70
六年 2.88
12. 為了準備6年後小明上大學的學費20000元，他的父親現在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：
(1）直接存入壹個6年期；
(2）先存入壹個三年期，3年後將本息和自動轉存壹個三年期；
(3）先存入壹個壹年期的，後將本息和自動轉存下壹個壹年期；妳認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？
13．小剛的爸爸前年買了某公司的二年期債券4500元，今年到期，扣除利息稅後，***得本利和約4700元，問這種債券的年利率是多少（精確到0.01%）．
14．（北京海澱區）白雲商場購進某種商品的進價是每件8元，銷售價是每件10元（銷售價與進價的差價2元就是賣出壹件商品所獲得的利潤）．現為了擴大銷售量，把每件的銷售價降低x%出售，但要求賣出壹件商品所獲得的利潤是降價前所獲得的利潤的90%，則x應等於（ ）．
A．1 B．1.8 C．2 D．10
15.用若幹元人民幣購買了壹種年利率為10% 的壹年期債券，到期後他取出本金的壹半用作購物，剩下的壹半和所得的利息又全部買了這種壹年期債券（利率不變），到期後得本息和1320元。問張叔叔當初購買這咱債券花了多少元？
知能點4：工程問題
工作量＝工作效率×工作時間 工作效率＝工作量÷工作時間
工作時間＝工作量÷工作效率 完成某項任務的各工作量的和＝總工作量＝1
16. 壹件工作，甲獨作10天完成，乙獨作8天完成，兩人合作幾天完成？
17. 壹件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天後，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？
18. 壹個蓄水池有甲、乙兩個進水管和壹個丙排水管，單獨開甲管6小時可註滿水池；單獨開乙管8小時可註滿水池，單獨開丙管9小時可將滿池水排空，若先將甲、乙管同時開放2小時，然後打開丙管，問打開丙管後幾小時可註滿水池？
19.壹批工業最新動態信息輸入管理儲存網絡，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先做30分鐘，然後甲、乙壹起做，則甲、乙壹起做還需多少小時才能完成工作？
20.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個．在這16名工人中，壹部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件．已知每加工壹個甲種零件可獲利16元，每加工壹個乙種零件可獲利24元．若此車間壹***獲利1440元，求這壹天有幾個工人加工甲種零件．
21.壹項工程甲單獨做需要10天，乙需要12天，丙單獨做需要15天，甲、丙先做3天後，甲因事離去，乙參與工作，問還需幾天完成？
知能點5：若幹應用問題等量關系的規律
（1）和、差、倍、分問題 此類題既可有示運算關系，又可表示相等關系，要結合題意特別註意題目中的關鍵詞語的含義，如相等、和差、幾倍、幾分之幾、多、少、快、慢等，它們能指導我們正確地列出代數式或方程式。 增長量＝原有量×增長率 現在量＝原有量＋增長量
（2）等積變形問題
常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式，依據形雖變，但體積不變．
①圓柱體的體積公式 V=底面積×高＝S?h＝ r2h
②長方體的體積 V＝長×寬×高＝abc
22.某糧庫裝糧食，第壹個倉庫是第二個倉庫存糧的3倍，如果從第壹個倉庫中取出20噸放入第二個倉庫中，第二個倉庫中的糧食是第壹個中的 。問每個倉庫各有多少糧食？
23.壹個裝滿水的內部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水，倒入壹個內徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒滿，求圓柱形水桶的高（精確到0.1毫米， ≈3.14）．
24.長方體甲的長、寬、高分別為260mm，150mm，325mm，長方體乙的底面積為130×130mm2，又知甲的體積是乙的體積的2.5倍，求乙的高？
知能點6：行程問題
基本量之間的關系： 路程＝速度×時間 時間＝路程÷速度 速度＝路程÷時間
（1）相遇問題 （2）追及問題
快行距＋慢行距＝原距 快行距－慢行距＝原距
（3）航行問題 順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度
逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度
抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關系．
25. 甲、乙兩站相距480公裏，壹列慢車從甲站開出，每小時行90公裏，壹列快車從乙站開出，每小時行140公裏。
（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時後兩車相遇？
（2）兩車同時開出，相背而行多少小時後兩車相距600公裏？
（3）兩車同時開出，慢車在快車後面同向而行，多少小時後快車與慢車相距600公裏？
（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的後面，多少小時後快車追上慢車？
（5）慢車開出1小時後兩車同向而行，快車在慢車後面，快車開出後多少小時追上慢車？
此題關鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結合圖形分析。
26. 甲乙兩人在同壹道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著壹只狗，當甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時，求此過程中，狗跑的總路程是多少？
27. 某船從A地順流而下到達B地，然後逆流返回，到達A、B兩地之間的C地，壹***航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。
28．有壹火車以每分鐘600米的速度要過完第壹、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第壹鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第壹鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長．
29．已知甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從A地出發2小時後，乙從B地出發，與甲相向而行經過10小時後相遇，求甲乙的速度？
30．壹隊學生去軍事訓練，走到半路，隊長有事要從隊頭通知到隊尾，通訊員以18米/分的速度從隊頭至隊尾又返回，已知隊伍的行進速度為14米/分。問：?若已知隊長320米，則通訊員幾分鐘返回？?若已知通訊員用了25分鐘，則隊長為多少米？
31．壹架飛機在兩個城市之間飛行，風速為24千米/小時，順風飛行需要2小時50分，逆風飛行需要3小時，求兩個城市之間的飛行路程？
32．壹輪船在甲、乙兩碼頭之間航行，順水航行需要4小時，逆水航行需要5小時，水流的速度為2千米/時，求甲、乙兩碼頭之間的距離。
知能點7：數字問題
（1）要搞清楚數的表示方法：壹個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字為c（其中a、b、c均為整數，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）則這個三位數表示為：100a+10b+c。然後抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程．
（2）數字問題中壹些表示：兩個連續整數之間的關系，較大的比較小的大1；偶數用2n表示，連續的偶數用2n+2或2n—2表示；奇數用2n+1或2n—1表示。
33. 壹個三位數，三個數位上的數字之和是17，百位上的數比十位上的數大7，個位上的數是十位上的數的3倍，求這個三位數.
34. 壹個兩位數，個位上的數是十位上的數的2倍，如果把十位與個位上的數對調，那麽所得的兩位數比原兩位數大36，求原來的兩位數