設滑動面為非均勻軟弱夾層，上部巖體為剛體(如圖7-1)。滑面傾角θ，上部巖體垂直高度h，軟弱夾層厚度h，上部巖體重量Wg (g為重力加速度)。在自重產生的滑動力作用下，巖體沿軟弱夾層的蠕變位移為U。
圖7-1邊坡平面滑動失穩的力學模型
由於軟弱夾層不同部位的應力水平、材料組成和結構不同，夾層本身可能含有多種力學性質不同的介質，如彈性脆性、應變硬化和應變軟化性質。為簡化分析，我們將層間介質視為由兩種介質組成，即介質1具有復雜的彈脆性(如硬巖塊或巖橋)或應變硬化(如硬粘土或松散砂土)性質，介質2具有應變軟化性質(如圖7-2所示)。
無論介質1是彈性脆性的還是應變硬化的，都會得出相同的結論。為簡單起見，在下面的分析中，我們只考慮介質1的應變硬化特性。介質1和介質2的本構模型分別采用第二章的公式(2-5)和公式(2-1)。
圖7-2軟弱夾層中兩種不同介質的本構曲線
第二，尖點突變模型
對於圖7-1所示的系統，總勢能是滑動面介質的應變能和滑動勢能之和，即:
非線性巖土力學基礎
其中lh和ls分別為應變硬化介質和應變軟化介質的滑動面長度，有ls+lh=H/sinβ。假設ls和lh遠大於u，在滑動過程中保持不變。如果lh？Ls，斜率可能很穩定。在下面的分析中，我們只考慮lh？ls的情況。
從v′= 0，平衡面(圖7-3)可以確定為:
非線性巖土力學基礎
上面的公式顯然是力的平衡條件。根據平衡面的光滑性質，由V？=0，找到尖點，即
非線性巖土力學基礎
很容易知道尖點處的位移值，也就是滑面應變軟化介質本構曲線拐點處的位移值。
平衡面方程(7-2)在尖點處相對於狀態變量值u1進行泰勒展開，截取三次項，代入變量，得到尖點突變的標準型:
x3+ax+b=0 (7-4)
其中包括:
非線性巖土力學基礎
非線性巖土力學基礎
非線性巖土力學基礎
非線性巖土力學基礎
非線性巖土力學基礎
其中Gh=G1(uh≥u1)或GH = G2 (uh < U1)。參數k是滑移面應變硬化(彈脆)介質的剛度(kh=Ghlh/h)與本構曲線拐點對應的應變軟化介質的剛度絕對值(ks = {mgslsexp [(m+1)/m]}/h)的比值，稱為剛度比；參數ξ與巖體的重量Wg、系統的幾何尺寸和介質的力學參數有關，稱為幾何-力學參數。
將方程(7-6)和(7-7)代入分叉集方程，我們得到:
非線性巖土力學基礎
其中β=6/(m+1)2。
如圖7-3所示，三維空間的坐標分別是控制參數A和B以及狀態變量X。比如從B點開始，隨著控制參數的連續變化，系統的狀態沿著路徑B演化到B′，狀態變量連續變化，沒有突變(D > 0)；但從A點沿路徑AA’開始，當接近折疊翼邊緣時，只要控制參數稍有變化，系統狀態就會突然發生變化，從折疊翼的下葉變為折疊翼的上葉。這說明系統的突變只有在穿越分岔集時才會發生。因此，方程(7-10)是平面滑動邊坡突然失穩的充分必要力學條件判據。
根據公式(7-10)，當a≤0，即k≤1時，d可能等於零。因此，系統突變的必要條件是:k≤1，即系統的失穩與剛度比k有很大的相關性，由式(7-8)可知，在其他參數不變的情況下，k隨m的增大而減小。m值越大(剛度比越小)，即材料的均勻性或脆性越高，越容易引起突變。
水對邊坡失穩有重要影響。壹般認為，除化學腐蝕外，水的作用主要有靜水壓力(浮力)和動水壓力。從圖7-4可以看出，隨著巖石含水量的增加，峰後曲線的斜率變陡，峰後剛度增大，即M增大，剛度比K減小，容易導致突變和滑坡。這說明水還有更重要的作用——增加材料的均勻性(脆性)，降低剛度比。
三、兩種邊坡失穩模式特征
從方程(7-9)可知，方程(7-10)包含兩種不同的邊坡失穩模式，描述如下。
失穩模式1:當應變軟化介質的承載力遠大於應變硬化介質的承載力時，邊坡系統的失穩將主要受應變軟化介質性質的控制(圖7-5(a))。此時有uh≥u1，Gh=G1。從公式(7-9)和(7-10)可以得到其不穩定性的充分必要力學條件表達式(b < 0)如下:
圖7-3尖點突變模型
圖7-4圍壓為6.9MPa時孔隙水壓力對石灰巖脆韌性轉變的影響[32]
非線性巖土力學基礎
失穩模式二:當系統的承載力由應變軟化介質和應變硬化介質共同承擔時，邊坡失穩將由兩種介質的性質共同控制(圖7-5(b))。此時有uh < U1，Gh=G2，由式(7-9)和式(7-10)可得其失穩的充要力學條件表達式(b < 0):
非線性巖土力學基礎
可見，邊坡失穩與應力-應變曲線特征密切相關，應變軟化介質峰後曲線的斜率和應變硬化介質剪切模量在屈服點前後的變化特征決定了邊坡失穩模式，表明今後應高度重視巖土介質全應力-應變曲線和剛度特征的研究。
圖7-5兩種不同失穩模式的τ-u曲線
從公式(7-7)可以看出，ξ越大，越容易滿足b < 0的條件，導致邊坡失穩。很容易證明，在其他參數相同的情況下，失穩模式1的條件比失穩模式2的條件更容易滿足，說明失穩模式1更容易發生。
4.與剛性極限平衡法的比較
失穩臨界位移值可由公式(2-15)確定如下:
非線性巖土力學基礎
對於失穩模式1，由抗滑力與滑動力之比定義的安全系數為:
非線性巖土力學基礎
當斜坡系統演化到臨界點時，u=uc。將公式(7-13)和公式(7-11)代入公式(7-14)，可得到臨界安全系數的表達式如下:
非線性巖土力學基礎
可以看出，Kc只與剛度比k和材料均勻性指數m有關，即臨界安全系數由系統的內部特性決定。
圖7-6顯示了不同m值時Kc隨k的變化。可以看出，當k=1時，臨界安全系數為固定值1。當k≠1且m < 3時，Kc隨k的增大而增大；當k≠1且m≥3時，Kc隨k的增大而減小，這說明剛性極限平衡法只是我們提出的方法的壹個特例。雖然方程(7-2)的泰勒展開會產生誤差，但不會大於10%(見方程(2-20))。比如當k=0.1，m=1時，0.86 < KC < 1.0。這從理論上說明，即使安全系數小於1的邊坡也可能是穩定的。
圖7-6不同M值下Kc和K的關系
五、B值的變化與蠕變三個階段的對應關系
將式(7-8)和式(7-9)代入式(7-7)得到:
非線性巖土力學基礎
可以看出，B的符號與應變軟化介質本構曲線拐點處的滑動力和抗滑力的相對大小有關。B > 0、=0和< 0分別對應斜坡滑動加速度< 0(減速爬行)、=0(恒速爬行)和> 0(加速爬行)的情況(如圖7-7)。
圖7-7邊坡蠕變變形的三個階段與B值對應關系示意圖
將平衡面投影到控制參數平面上，分岔集是壹個半三次拋物線，其尖點在(0，0)。分叉集將控制參數平面分成五個分區。圖7-8是每個分區對應的勢函數曲線，球的位置代表系統的狀態。
1)在E區，d > 0，方程(7-4)只有壹個實根，對應的勢函數曲線只有壹個最小值，所以系統處於穩定狀態，剪切位移率接近於零，不會發生滑坡。
2)在I區，d < 0，方程(7-4)有三個不相等的實根，對應的勢函數曲線有兩個最小值。根據b的取值，I區可進壹步分為三個區域:在右半部，b > 0，坡面加速度為負值，坡面減速滑動，對應坡面蠕動曲線的減速蠕動階段(圖7-7)；在左側，b < 0，邊坡加速度為正，邊坡加速滑動，對應邊坡蠕變曲線的加速蠕變階段；在I區中心的傍軸區，b≈0，邊坡以近乎勻速滑動，對應於邊坡蠕變曲線的恒速蠕變階段。
圖7-8 A和B的不同值的勢函數V(小球代表勢能曲線上斜率系統的狀態)
3)在B1或B2上，D=0。方程(7-4)有三個實根，但其中兩個相等。在B1上，兩個較小的實根相等，在B2上，兩個較大的實根相等，對應的勢函數有最小值和拐點。滑坡是邊坡從壹個不穩定的平衡狀態(在勢函數曲線的拐點處)跳到另壹個穩定的平衡狀態(在勢函數曲線的最小值處)的過程，滑坡狀態變量X突然增大，系統沿路徑A向左越過B1，正是這樣壹個過程。可以看出，路徑A可以代表壹個典型滑坡的完整過程:穩定-緩慢滑動(b > 0)-均勻滑動(b≈0)-加速滑動(b < 0)-急劇滑動。
4)在p點，D=0，方程(7-4)有三個相等的實根，對應的勢函數曲線只有壹個最小值。當系統越過P點時，狀態發生跳躍，但由於兩個狀態相同，不會發生滑坡。
6.潘田礦區滑坡突變分析
盤羅鐵礦下轄的盤田礦區於1958開始開采。1990年8月，這壹地區遭受了30年壹遇的強臺風和暴雨襲擊，促進了古滑坡的復活。南、中、北三段的裸露邊坡和山坡均有不同程度的不穩定，特別是中段上部出現了長600米、寬約400米的馬蹄形裂縫。專家預測潛在滑坡量約為10萬m3。1997和2000年，該地區再次遭受強臺風和暴雨襲擊，進壹步加劇了大裂縫，進壹步加重了險情。為確保人民生命財產安全，保障礦區安全生產，保護國家財產不受損失，保護本地區自然環境不受破壞，潘洛鐵礦自190起，與南昌有色冶金設計研究院合作成立了專門的“降雨-滑坡”觀測(監測)預報組，已在觀測預報工作10余年。鐘鐵[33]應用我們提出的邊坡失穩突變理論分析方法，對潘田礦區北采區邊坡的穩定性進行了評價，取得了良好的效果。應用結果介紹如下。
1)以主軸斷面(圖7-9)為例，計算了潛在滑動面兩段的介質剛度。首先做如下假設:①假設潛在滑動面是壹個連續面(實際上是壹個折疊面)；②假設潛在滑動面上的F20斷層泥為應變軟化介質(E=0.26 × 104MPa，μ= 0.32)；下段強風化粉砂巖為應變硬化介質或彈脆性介質(E=5.8 × 104MPa，μ= 0.2)；③取地下水(主要來自降雨入滲)可使上段斷層泥強度(剛度)降低0.70，下段強風化粉砂巖強度(剛度)降低0.85。
圖7-9潘田礦區北采區邊坡主斷面示意圖
2)計算兩個截面的中剛度比，計算結果見表7-1。結果表明，對於任何潛在滑動面，其剛度比為k？1，也就是說對於北礦段不滿足快速滑坡的必要條件，10年的實踐也證明了這壹點。
表7-1主斷面潛在滑動面介電剛度比K