鞅:如果隨機過程X(t)滿足對任意S的要求
直觀上講，當鞅過程在某壹時刻的值已知時，在任意後續時刻的條件都有望是這壹時刻的值。從賭徒的角度來看，這是壹場公平的遊戲。
比如我們在玩擲骰子的遊戲，輸的人每輪給贏的人壹元錢。假設遊戲是公平的，第十局之後，妳已經發現自己贏了4塊錢。第十壹局，因為遊戲的公平性，妳有壹半機會贏壹元，壹半機會輸壹元。此時，第11局後妳收入的條件期望是4元。即使在第20局，妳對利潤的期望仍然是4元。第十局之後，不管妳有多少局，妳的條件期望都等於第十局的收益。此時，妳的收入是壹個鞅過程。
馬爾可夫過程:如果隨機過程X(n)在任意時刻滿足給出過去經歷的所有距離的要求，其分布與給出最近點的分布相同，即。
直觀上，如果我要研究壹個馬爾可夫過程的未來發展，妳在這個過程中給我的距離，就相當於妳觀察到的最後壹個點的位置，也就是說，有距離並不能帶來更多的信息。這可能有點難以理解，但是如果假設股價是馬爾可夫過程，那麽妳只關心此時的股價，不關心股票的整體走勢。這說明馬爾可夫過程側重於過程的無記憶性。
比如小紅住在10層。她可以坐電梯，也可以走樓梯下樓。但是樓梯上的某個地方特別暗，妳可能會在那裏絆倒。如果我們假設這是壹個馬爾可夫過程，當我們今天觀察小紅走下樓梯的時候，我們會說小紅今天有機會摔倒在那裏，這個時候摔倒的幾率是恒定的。換句話說，我們不在乎小紅走過多少次樓梯。我們認為她永遠不會從上次的失敗中吸取教訓。也就是說，小紅在樓梯上摔了壹次、十次之後，只要被觀察到走樓梯，就有同樣的幾率在同壹個地方摔倒。
對於布朗運動，它既是鞅又是馬爾可夫過程。
因為布朗運動的增量是獨立的，均值為0，(即獨立於且均值為0)。我們很容易證明布朗運動既是鞅又是馬氏過程。但是對於壹般情況，鞅和馬爾可夫過程不再具有相關性。原因是他們側重點不同。鞅側重於公平性，馬爾可夫過程側重於無記憶性。這兩者之間沒有聯系。
兩者之間非包容關系的例子。
壹個是馬爾可夫但不是鞅的過程:帶漂移的布朗運動:此時不違反無記憶性，因為和都有獨立的增量，所以知道路徑並不比知道最近點優越。但這個過程不是鞅，因為它是不公平的。由於漂移項的引入，其平均值總是會增加。在賭博中，如果妳的預期收益不斷增加，那麽這個遊戲肯定是不公平的。所以，這個過程是馬爾可夫的而不是鞅的。
是鞅而不是馬爾可夫的過程:與過程相關的Ito積分:。此時t時刻的增量將是壹個與過去所有路徑積分相關的隨機變量。這個時候，僅僅知道最新的觀測值是不足以給出壹個好的預測的。我們需要知道整個距離。但是這個過程會是壹個鞅，因為每個增量都可以表示為路徑和布朗運動增量之和，布朗運動的均值為零，所以它的增量也會為零，這並不違背鞅的性質。所以這個過程是鞅而不是馬爾可夫。