在所有的學科中，數學或許具有最悠遠而連綿的歷史，只有天文學能與其相媲美。這兩門學科都可以追溯到古巴比倫時代（Ancient Babylon），那時的發現在今天依然是重要的。
未來，數學也將發生革命。有的已經在發生了：計算機科技的日新月異，大數據與人工智能不斷增大的影響，生命科學和金融行業提出的新的挑戰。當然還會出現別的，許多事情都是難以預言的。
某些情況下數學證明取代了其他科學中的觀察和實驗的地位?就是說，數學通過證明來避免被個人的聰明引向歧路，避免因為喜歡而相信並不真實的東西。顯微鏡的發明不能取代生物學實驗，計算機也代替不了數學證明。我們在學科的類比中看到，計算機強化了證明的技術手段，但是沒有改變邏輯的壹貫性，從已知的定理導出新的定理，而推導的路線應該經得起專家嚴格的審查。證明的概念將作為數學最基本的東西保留，正如陳景潤證明哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture）壹樣。
數學的力量來自兩個源泉的匯流。
第壹個是?真實的世界?。開普勒（Johannes Kepler)、伽利略（Galileo Galilei)、牛頓（Isaac Newton)告訴我們，外在世界的諸多方面可以通過微妙的數學法則（自然定律）來認識。有時物理學家會修正這些定律的形式。牛頓力學讓位給量子力學和廣義相對論，量子力學讓位給量子場論，量子引力或超弦引領著未來的理論修正的方向。現實世界的問題激發新數學的產生，即使產生它的理論改變了，但數學還在，而且依然重要。
數學的第二個力量源泉，是人類的想象力：為了數學而追求數學。勇敢的先驅者常常在追求個人的幻想中脫離主流，然後發現更好的路線。數學家們探索的價值是顯而易見的，那正是他們的動力，除了數學求證本身的意義，不需要更多的理由。
例如，費馬大定理（Fermat's Last Theorem），是壹個超過三百年的巨大難題。其數學表達是，?n大於2且為整數，關於x、y、z 的方程 x^n+y^n=z^n 沒有正整數解?。它吸引了多少代數學家為之苦苦追尋，終於在1995年由英國數學家懷爾斯（Andrew Wiles）給出了證明。他將費馬的表述轉換為壹種?橢圓曲線?命題（壹個截然不同的數論領域）。
今天，純粹數學的方法為應用數學帶來了新的活力。應用數學中出現的問題刺激了純粹數學的新發展。數學的黃金時代已經不在古希臘，不在文藝復興的意大利，也不在牛頓的英格蘭，而在今天。
說到今天的數學，不得不提及著名的21世紀七大未解數學難題。1900年，那個時代最偉大的數學家希爾伯特（David Hilbert）曾提出未來需要解決的23個數學問題，今天大多已經解決。100年之後，美國的克雷數學研究所（The Clay Mathematics Institute of Cambridge, CMI，Massachusetts），於2000年5月在法國召開的千禧年年會上，公開征解七大數學難題的解答。這七大問題由CMI 的科學顧問委員會精心挑選，並為每壹個問題的解答懸賞100萬美元。
1、波奇/斯溫納頓-戴爾猜想（Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture ,BSD)
對有理數域上的任壹橢圓曲線，其L函數在1 處的零點階數等於此曲線上有理點構成的Abel 群的線性秩。
BSD猜想近年來有所突破，如中科院數學所的數學家田野證明了其中壹種特殊情況，使得該問題有了實質性進展。
2、霍奇猜想（Hodge Conjecture）
這是代數幾何的壹個重大的懸而未決的問題，是關於非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯性猜想。
在非奇異復投影代數空間數簇上，任壹?霍奇圓?實際上是代數閉鏈的有理線性組合。它與費馬大定理、黎曼猜想壹起成為廣義相對論和量子力學融合的M 理論結構幾何拓撲載體和工具。
3、納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations)
這是描述粘性不可壓縮流體動量守恒的運動方程。盡管作為粘性流體動力學方程已經提出100多年了，科學家對它的了解依然淺薄，希望能夠從這個方程的數學理論認識湍流，證明其等式存在和光滑性。它還涉及量子場論中的?質量間隙假設?。
4、P與NP問題（P vs NP problem）
有確定性多項式時間算法的問題類P是否等於有非確定性多項式時間算法問題類NP。有些問題的答案檢驗起來很容易，但計算機做起來卻需要幾乎無限的時間，這就是所謂的NP問題，P是多項式，NP非確定多項式。P/NP問題是關於計算機的，卻不是計算機所能解答的。我們熟悉的圍棋就是壹個NP-hard問題。
2010年，美國惠普實驗室的數學家Vinay Deolalikar）聲稱已解決了P/NP問題，並公開了論文手稿。他的論文草稿已經得到了復雜性理論家的認可，但其終稿迄今尚未通過專家的審查。
5、龐加萊猜想（Poincare conjecture)
拓撲學中，任意壹單連通的、封閉的三維流行與三維球面同胚。龐加萊在100多年前問，二維球面（如地球表面）是單連通的，可以收縮為壹個點，那麽三維球面是怎樣的情況呢？這是拓撲學命題，有助於人類研究三維甚至多維空間。
2006年，數學界最終確認，俄國數學家佩雷曼（Grigory Perelman）圓滿解決了龐加萊猜想（他拒絕了100萬美元的賞金）。
6、楊-米爾斯理論（Yang-Mills theory）
用楊振寧-米爾斯的規範場理論來描寫基本粒子的強相互作用時，需要壹種微妙的量子性質，需要證明量子Yang-Mills場存在並且存在壹個?質量間隙?。這個理論的方程是壹組數學上極有意義的非線性偏微分方程。
盡管經典的波動以光速運動（質量為0），然而，量子粒子卻具有正的質量。我們目前在理論上還不能理解這壹點。
7、黎曼猜想（Riemann Hypothesis）
這是數學上最有名的壹個未解難題，首先由黎曼（Georg Bernhard Riemann）提出來的。這是復分析中的壹個相當專門的問題，猜想的答案很可能為素數理論、代數數論、代數幾何甚至動力學帶來曙光。
黎曼發現，Zeta函數的所有非零點都位於復平面上Re(s)=1/2的直線上，也即方程Zeta(s)=0的解的實部都是1/2。因此黎曼猜想可以表述為：?黎曼Zeta函數的所有非平凡零點都落在實部為1/2的壹條直線上。?
這個猜想聯系著許多關於素數分布的難題，例如，哥德巴赫猜想也只是它的壹個特例。
證明黎曼猜想究竟有多重要呢？
可以這麽說，作為當今數學界最值得期待解決的數學難題，黎曼猜想的對或錯，直接影響整個以黎曼猜想作為前提的數學體系。畢竟，我們現有1000條以上的數學命題，都是以黎曼猜想及推廣形式的成立作為前提的。壹旦黎曼猜想被證實，它們就會成為堅不可摧的數學定理。反之，如果被證偽，那麽這些數學命題中的很大壹部分將不可避免地成為黎曼猜想的?陪葬品?。
再者，黎曼猜想研究的就是數學中的素數分布。它從提出到現在已有160多年，它的藤蔓早已從數學界跨越到了物理界。
例如，廣義相對論最初源於愛因斯坦意識到引力並不是壹種力，而是質量導致時空幾何彎曲的體現。然而，當時並沒有數學理論來支撐愛因斯坦的想法，直到愛因斯坦了解到黎曼猜想?非歐幾何?，才讓廣義相對論問世。
2018年，英國數學家阿蒂亞（Michael Atiyah）聲稱證明了黎曼猜想，但遭到了壹些學者的強力質疑，這壹證明並不成立。盡管如此，他的思路或許可為後續的證明提供幫助。
上面所提到的21世紀七大數學難題，將助力數學家對於未來純數學的研究和發展起到推動作用。
英國皇家學會數學教授斯圖爾特（Ian Stewart）認為，在牛頓時代，數學問題的主要來源是天文學和力學，也就是自然科學。在未來，更奇異的學科還會湧進數學。其中之壹就是已經高度數學化了的量子物理學。今天，量子場論、幾何學、拓撲學和代數之間開始出現新的聯系。未來的量子場、超弦以及它們之外的各色理論所激發的新結構，將開拓全新的代數和拓撲的天地。
19世紀的數學家把傳統的?實?數擴大到?復?數，讓?-1?有了平方根，給數學帶來了無限生機。很快，數學的每壹個領域都?復化?了：產生了與舊的實數壹樣碩果累累的復數的數學。?量子化?是21世紀的?復化?，我們將走進量子代數、量子拓撲、量子數論的世界。
未來生命科學會激發出壹門新的數學：生物數學。科學家曾經相信人類基因組有10萬個基因，結果錯了，只有34000個。從基因走向蛋白質，那路線圖比我們想象的復雜得多；實際上也許根本沒有那樣的地圖。基因是壹個動態控制過程的壹部分，過程中不僅制造蛋白質，還不斷修正它們，使它們在進化的生命裏，在生命歷程的恰當時刻，找到自己恰當的位置。認識這個過程所需要的遠不只是壹列DNA密碼，而是我們缺少的多數東西就是數學。
生物數學是把生命生長動力學與DNA的基因信息過程融合起來的新數學。DNA密碼依然重要，但不是全部。新的生物數學可能是組合生物學、數學、分析學、幾何學和信息學的奇異混合。
與物理學中數學用來表達定量的定律不同，對現實世界的預測通常是大數據加上人工智能分析的結果。例如，為了模擬臺風的巨大漩渦，工程師們需要列出千萬個小區域暖濕氣體的運動方程，然後通過大量計算來解決這些方程。現在，借助於計算機和大數據分析的?漩渦的微積分?有可能把人們從無窮的數字糾纏中解放出來。這是壹個動力學模型形成的定性的、上下關聯的數學理論。
再如，期貨和股票市場，許多中介通過買賣期貨和股票來相互影響。金融業就是這樣從相互影響中凸顯出來的。未來，金融和商務的數學也將在革命中產生，拋棄現在流行的?線性?模型，帶來數學結構更準確反映市場變化的數學模型。
未來，數學發展的空間仍然足夠大，它是幫助我們重新認識世界的工具?通過新的模式，而不是幾十億個魔幻般跳動的數字。