布朗運動也叫布朗運動。
維納過程，作為第壹個被徹底研究過的過程。
過程和Po- isson過程壹樣，是應用概率最重的。
兩個重要的過程。
1827年，英國植物學家羅伯特
布朗(1773-1858)在顯微鏡下觀察到懸浮液
漂浮在溶液中的微小顆粒呈現連續的但不連續的。
有規律的運動。當然，這種現象不只是在液體中。
是的，如果我們稍微註意壹下，當陽光照進黑暗的房間。
有時，妳可以從光束中看到許多浮塵，這也
這是布朗運動的效應。
然而，布朗並不是第壹個提出這種現象存在的人。
人，來自17世紀，荷蘭博物學家Leeu-
文霍克(1632-1723)等很多後來的題材。
科學家註意到了這壹現象。但是布朗的討論
它引起了科學界的註意，所以後來被布朗運走了。
動詞稱謂現象。布朗之後，科學家們相繼對其進行了研究。
並解釋布朗運動的成因。起初，
科學家認為布朗運動是由粒子本身引起的。
是“活著”(alive)，而是法國數學家和物理學家
龐加萊E (1854-1912)認為這違背了熱力學。
熱力學第二定律
Ics)。今天，我們知道布朗運動是由。
因為粒子不斷受到周圍分子的撞擊。
由運動引起(在正常情況下的溶液中，a。
特定粒子每秒大約被撞擊1020次。
1905年，愛因斯坦用
動力分子
ory)的原理在數學上描述了布朗運動。男性
壹開始是為了推導布朗運動的可能存在，後來才知道。
這個運動早就被觀察到了。使X(t)面粒子在
時間t在x軸上的位置(即只考慮壹維布朗運動
Move)，設X(t0) =x0為起始時刻t0的位置。
如果假設運動對時間是均勻的(即，有恒定的增加)
數量，固定增量，可以把t0取為0。
另外，獨立增量也假設為真，用ft(x)表示
Lang在時間t以x的概率密度函數移動
愛因斯坦證明ft(x)滿足以下偏微分公式。
程序:
f
t
=D
2f
x2
, (1)
其中d稱為擴散系數，是壹個大於0的常數。
如果我們改變尺度，上述公式可以轉換成熱力學方程。
(熱量方程)f/ t=1
2
2f/ x2。不難。
證明了(1)的解是
英尺(x) =英尺
1
√
4 Dt
e (x x0)2/4Dt。(2)
1
2數學交流第16卷第4期足足人81年65438+2月
愛因斯坦用物理性質證明了擴散。
系數D= 2RT/Nf，其中r為理想氣體。
氣體常數)，T其中T是絕對溫度，n是sub。
佛伽德羅數(Avogadro number)，f為莫。
摩擦系數，與溶液的粘度和顆粒的性質有關
關於。不久之後，根據愛因斯坦建立的模型，
佩蘭經過壹系列實驗，給出了結論。
估計接受的阿法爾伽德羅數之差不超過19%。
這個結果可以支持分子動力學的理論，並且
在此之前，許多物理學家對這壹理論仍心存疑慮。
佩蘭還指出了愛因斯坦的模型描述。
給出壹個處處可微分的連續函數。這個函數在這裏。
在模型提出之前，被大多數數學家認為。
這是壹個沒有多少數學價值的函數。
此外，巴奇利爾用博弈論研究股票價格。
晶格的漲落，並在他發表於1900的博士論文中，
其中提到它的模型可以應用於物理學中的布朗運動。
在他後來的研究中，他給出了壹些關於布朗運動的信息。
函數的分布。
在研究布朗運動的這段時間裏，數學理論
但是數學的發展比較慢，需要適當的運用數學。
很難描述這個模型。在Lebesgue，建議縮小差距。
大約在關於測度論的論文發表20年後，維納(1923)
首次給出了布朗運動的簡明數學公式。
他還證明了布朗運動的樣本路徑幾乎處處連續。
1933年，維納和佩利和Zyg-
蒙德***證明了布朗運動的樣本軌跡幾乎是到
另外，布匹是欽欽(1924)發現的。
郎運動的重對數定律
對數)。
從1939開始，L evy就對布朗運動做出了承諾。
結果如何深入透徹，可以說只有他之後了。
還有壹些細節留下來普及。後來，他研究了多維。
布朗運動，並將結果推廣到壹般抽象空間，
尤其是希爾伯特空間。
感謝維納和利維的傑出貢獻
奉獻，布朗運動有時被稱為維納過程或
維納-勒維過程。
下面簡單介紹壹下布朗雲。
動，也就是把布朗運動看成壹個隨機行走的極限。
假設溶液中的壹個粒子受到平均△t時間的作用。
二次碰撞，每次碰撞後產生壹個小的運動，這
移動被設置為隨機的並且獨立於原始位置。為了簡單起見，
只考慮某個方向的運動，每個運動都是設定的。
移動+△x或△x的概率分別為p和q= 1 p。
粒子的運動可以看作是壹維的隨機行走。
二次運動的單位是△ X .如果裝液體的容器很大，
可以假設粒子的初始位置都是從容器的邊界開始。
很遠。如果這個質點的起始位置設為原點，那麽在
間隔t的位置X(t)可以表示為
X(t) =△x(I1+ +I[t/△t]) (3)
其中Ii= 1或1移位+△x或。
δx，[]是高斯函數，並且
P(Ii = 1)= 1 P(Ii = 1)= P。
這些參數的適當選擇由中心極限決定。
得出X(t)接近正態分布的結論是合理的。更具體地說，
若菱
△x=
△t，
p=
1
2
+
√
△t
2
,
布朗運動介紹3
這裏，是兩個固定常數and >: 0，那麽當△t→
0(所以△x→0和p→1
2
),
X(t) t
√
t
d →( 4)
其中是N(0，1)分布，即證明。
(i)X(t)的期望值為t，方差為2t。
正態分布。
因為粒子在不相交的時區中的運動是相互獨立的，
因此，有
(ii){X(t)，t≥0}有獨立增量。
從(I)和(ii)中可以立即知道X(s+t)。
X(s)具有N( s，2s)的分布。最後，由於在任。
壹個時區的位移只和這個時區的長度有關，所以
(iii){X(t)，t≥0}有壹個常數增量。
此外，還有其他不同的方式來引入布朗運動。
動起來。
設X(t)表解中的壹個質點在時刻t在某壹邊。
設{X(t)，t≥0}滿足以下三個條件。
第x件:
(i)'{X(t)，t≥0}有獨立增量；
(ii)'{X(t)，t≥0}有壹個常數增量；
(三)‘右> 0，
潛象存儲器（Latent Image Memory的縮寫）
h↓0
P(|X(t+h) X(t)|≥ )/h= 0。
(5)
可以證明，隨機遊走的極限滿足這三個要求。
因此，(i)'-(iii)'是壹個弱假設。
下面我們解釋這些條件的含義。
首先，條件(I)’等價於下面的陳述:
X(t+h) X(t)和{X(u)，u≤t}唯壹性。
李，h > 0，t & gt0.
因此，條件(I)’表示粒子在時區[t，t+h]中的位置
移動，在此之前，也就是時間0到t的位置是獨立的。
當然，這只是壹個粗略的假設。身體上，
更準確地說，在時區[t，t+h]由於分子
沖擊，以及傳遞給粒子的能量，在時間t之前。
與運動無關。只有當它在時區[t，t+h]中時，才會做出這種假設
初速度引起的位移和在時區[t，t+h]的位移是壹樣的
由動力產生的位移相對較小，因而是有效的。
模式的觀點來看，這是三個條件中最壞的，不是嗎
然而，我們仍然接受這個假設。
“條件(ii)”是壹個合理的假設。這表明
說明這個質點的運動在時間上是齊次的，也就是在任意時刻。
壹個時區內的位移分布只與這個時區的長度有關。
關閉，不考慮該區域此時的位置。只要粒子在那裏。
如果容器非常大，可以做出這種假設。
看看條件(iii)，我們認為每個粒子都在運動。
的樣本路徑應該是連續的，不會有突發性。
跳上跳下。現在將時區[0，s]分成n等份，每份
分數長度是h = s/n。如果粒子的運動是連續的，
那麽當h→0(也就是n→∞)時，某種意義上，
g(h) = sup
1≤i≤n
|X(ih) X((i 1)h)|(6)
必須接近0。至少我們希望> 0，
潛象存儲器（Latent Image Memory的縮寫）
h↓0
p(g(h)≥0。(7)
根據條件(I)’，隨機變量Yi=|X(ih) X((i
1)h)|，i= 1，...，n，它們是相互獨立的。
(二)Y1，...，Yn具有相同的分布。因此，
P(g(h)≥1 P(sup
1≤i≤n
易& lt)
= 1 P(y 1 & lt；)n
= 1(1 P(y 1 ≥) n .(8)
可以看出，上述公式趨近於0當且僅當nP(Y1≥
)→0，即
sP(|X(h) X(0)|≥ )/h→0。(9)
4數學交流第16卷第4期腳腳人81年65438+2月
由於s 0和n≥1，設h=
T/n，Yi=X(ih) X((i 1)h)。那麽X(t)= 1
n
I=1Yi，其中Y1，...Yn是i.i.d .的RV
設Mn= max1≤i≤nYi，然後用之前的條件。
(iii)’，仍有Mn
P →0。作者:布雷曼(1968)
命題9.6(見投註)可以得到X(t)是正常的。
分銷。
其次，證明了存在壹個常數和，使得E(X(t))
= t，V ar(X(t)) = 2t。設k 1(t)= 0
E(X(t))，k2(t) =V ar(X(t))。那就用吧。
第(壹)項和第(二)項。
k1(t+ ) =E(X(t+))
=E(X(t+ ) X( )) +E(X())
=k1(t) +k1()，(10)
和
k2(t+)
= E(X(t+)k 1(t+))2(11)
= E(X(t+)X()k 1(t)+X()k 1())2
=k2(t) +k2()。
從條件(iii)可知，當→0，X(t+ )d →
X(t)，因為已經證明t > 0，所以X(t)有壹個正態分數。
布，所以→0，
E(X(t+)→E(X(t))，
V ar(X(t+ ))→V ar(X(t))。
因此，k1(t)和k2(t)是連續函數，這證明了(參見
Young (1958))這兩個函數都是線性函數。
註:設Sn=X(n)
1+ +X(n)
n，
其中X(n)
1, .。。，X(n)
n是內徑的r.v
若昂
D →X，然後max{X(n)
1, .。。，X(n)
d →
0當且僅當X具有正態分布。
經過以上討論，我們將正式交付給布朗。
運動的定義。
定義1:稱壹個隨機過程{X(t)，t≥0}
布朗運動，如果它滿足:
(i)X(0) = 0並且X(t)在t= 0處是連續的；
(ii){X(t)，t≥0}具有恒定且獨立的增量；
(iii)對於t > 0，X(t)分為N( t，2t)。
布，其中，是常數。
上述兩個常數和2分別稱為布朗運動。
偏差(漂移)和擴散系數(分散系數-
Cient)。如果= 0且2= 1，則此過程稱為。
標準布朗運動。因為如果X(t)= 1
(X(t) t)/，過程{X(t)，t≥0}為壹。
標準布朗運動，即任何壹個布朗運動都可以被轉化
換成標準的布朗運動，所以我們通常只需要考慮
標準布朗運動。
用隨機遊走的極限解釋布朗運動，這樣
我們聯想(幾乎全部)這個過程的樣本路徑。
布朗運動簡介5
路徑應該是t的連續函數。此外，因為它依賴於
機器行走的極限，每壹個樣本路徑總是很尖銳。
(尖的)或古怪的，而不是到處都是。
smooo-th，所以X(t)應該是(幾乎)to。
事實上，兩種猜測都是正確的。
因為{X(t)，t≥0}具有獨立增量的性質。
質量，所以它也是壹個馬爾可夫過程，而且因為X(t)有
正態分布，期望值為0，方差為t，其p.d.f
為
英尺(x) =英尺
1
√
2噸
e x2/2t。(12)
然後，使用常數和獨立增量，我們可以計算任意n > 1和0
t 1 & lt；t2 & lt。。。& lt總氮，可用
X(t1)的聯合概率密度函數，...，X(tn)如下。
f(x1，x2，.。。，xn)
= ft 1(x 1)ft2 t 1(x2 x 1)
ftn tn-1(xn xn 1)。(13)
有了(13)，我們基本上可以計算出任何我們想要的機器。
率。例如，如果需求低於給定的X(t) =a，
，X(s)的條件分布，0
fs | t(x | a)= 1
fs(x)ft s(a x)
英尺(a)
=
√
t
2秒(t秒)
支出{
x2
2s
(壹個x)2
2(t s)
+
主動脈第二聲
2t
}
=Cexp{
t(x as/t)2
2s(t s)
}.(14)
所以對於0
正態分布、期望值和方差分別為
E(X(s)|X(t) =a) =as/t，(15)
v ar(X(s)| X(t)= a)= s(t s)/t .(16)
由(16)可知，給定的X(t) =a，X(s)條。
方差的個數與a無關，如果s/t =，0
1和0
& ltTn，X(t1)，...，X(tn)具有n個變量的正態性。
分布，那麽{X(t)，t≥0}稱為高斯過程。
因為多元正態分布可以由邊際期望值和
* * *由方差的值決定，所以標準布朗運動也
可以定義為壹個期望值為E(X(t)) =
0，並且對於s≤t
Cov(X(s)，X(t))
=Cov(X(s)，X(s))
+Cov(X(s)，X(t) X(s))
=s，
最後壹個等式使用V ar(X(s)) =s和獨立性。
增量的本質。
定理2:壹個高斯過程{X(t)，t≥0}為
標準布朗運動當且僅當E(X(t)) = 0且
Cov(X(s)，X(t)) = min{s，t}，s，t≥0。
機制1:如果{X(t)，t≥0}為
偏差和擴散系數為2的布朗運動，
那麽Cov(X(s)，X(t)) = 2min{s，t}。
6數學交流第16卷第4期足足人81年65438+2月
參考
自從布朗運動發展以來，這個過程及其各種推論
廣，在許多領域如經濟學、交換理論(commu-
溝通理論)、生物學、管理科學、數理統計。
和量子力學。
卡林和泰勒(1975)第七章
詳細介紹了布朗運動，引出了本文的許多論題。
從那裏。卡林和泰勒(1980)
Ter 15也有很多布朗運動的例子和應用。
關於L evy(1954)中布朗運動的那壹章是無關緊要的
非常豐富的想法和成果。It^o和麥肯
(1965)和弗裏德曼(1971)是兩本很深的書，也是
非常重要的書。李(74)和謝南瑞(閔
中國(81)也是兩部值得參考的相關作品。
電泳現象
物質表面的那些原子、分子或離子與物質內部的不同。物質表面的原子、分子或離子只被側面和下面的其他粒子吸引。所以物質表面的顆粒有殘余吸附力，使物質表面吸附。當物質被細分為膠體顆粒時，暴露在周圍介質中的表面積非常大。因此，在膠體分散體系中，膠體顆粒往往能從介質中吸附離子，使分散的膠體顆粒帶電。
不同的膠體顆粒具有不同的表面組成。它們有的能吸附正電荷，有的能吸附負電荷。所以有些膠體顆粒是帶正電的，比如氫氧化鋁膠體。有些膠體顆粒是帶負電的，比如三氧化二砷(As2S3)膠體。如果對膠體施加直流電，它們要麽遷移到陽極，要麽遷移到陰極。這叫做電泳。
同種膠粒電荷相同，減少了膠粒之間碰撞的可能性，從而防止膠粒相互結合成為更大的顆粒進行沈澱。如果在這種膠體中加入電解質，電解質電離產生的離子會中和膠粒攜帶的電荷，使膠粒凝聚沈澱。河流中的粘土膠粒由於吸附了氫氧根離子而帶負電。當河水流入含鹽的海水中，帶負電的粘土膠粒被海水中帶正電的鈉離子和鎂離子中和，使粘土沈澱，最終在河口形成三角洲。
在高爐的煙氣中，炭黑和粉塵往往呈膠狀，並帶有電荷。如果使用圖2所示的裝置，並在煙囪上安裝壹個高壓電極，帶負電的膠體顆粒就可以被吸收並沈積下來。這不僅可以從中回收有價值的產品，還可以減少空氣汙染。