地球物理信息處理基礎
其中:ak、bk、ck、dk的模均小於1，mi、mo分別代表單位圓內外的零個數；Pi和po分別代表單位圓內外的極點個數。X(z)的對數是
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設置
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各種右端的對數函數展開成z-1或z的冪級數，其系數是z的逆變換.即
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對比了解，可以得出同樣的道理。和
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對比了解，可以得出同樣的道理。另外，取z = EJω，將[lnzr]z = EJω= JRω展開成傅立葉級數，即
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所以有
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也就是
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因此，lnzr的逆z變換為
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這是壹個振幅逐漸減小的正負相位脈沖序列。因此，它對復倒譜的貢獻是非常有規律的，與信號x(n)無關。因此，在討論x(n)的復倒譜時，可以忽略zr的影響。第壹lnA只有在a > 0時才有意義；如果a < 0，為了使對數運算有意義，a的絕對值往往是對數。這樣，ln∣A∣的逆z變換等於ln ∣A∣δ(n)，其中δ(n)是單位脈沖序列。註意等式(5-15)右端四個求和的Z逆沒有貢獻，所以有。
綜上所述，從方程(5-15)取Z的逆變換，得到x(n)的復倒譜如下
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在討論x(n)的復倒譜時，如果不考慮zr的影響，則有
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或者
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壹般來說，倒譜有以下性質。
性質1當x(n)有限時，復倒譜仍然是無限的。然而，復倒譜的振幅至少以1/∣n∣速度衰減，這意味著其能量主要集中在低時間端。
性質2最小相位序列在單位圓外既無零點也無零點，即mo=0，po=0，所以它的復倒譜壹定是因果序列，即當x(n)為最小相位時，有n < 0，即復倒譜在負軸上為零。
性質3當x(n)為最大相位時，則n > 0，即復倒譜在正軸上為零。
性質4當x(n)為混合相時，其z變換可分解為最小相和最大相的乘積，因此在正負坐標軸上都有值。
性質5實值有限離散信號x(n)的復倒譜仍是實值信號，存在對數譜lnX(ejω)，則ln∣X(ejω)∣是偶函數，ArgX(ejω)是奇函數。
性質6兩個或多個信號的卷積的對數譜或復倒譜等於它們各自的對數譜或復倒譜之和。
性質7具有Np個區間的脈沖序列δ(n)的復倒譜仍然是具有Np個區間的脈沖序列。
性質8的復倒譜的計算可以通過逆z變換或逆傅立葉變換來實現。