說到數學，很多人可能會皺眉，仿佛回到了放下鉛筆的那個下午。當他們接起來的時候，已經看不懂數學老師的推演了，真的讓人焦慮和憂郁。我們在學校學的東西，似乎只是壹堆無聊的規則、定律、公理。我們中學學過三角函數，大學學過微積分。然而，大多數成年人在日常生活中能使用多少次余切函數或不定積分呢？那我們為什麽還要學習前人傳下來的這些看似毫無疑問的數學呢？
在這本《魔鬼的數學》中，作者摒棄復雜的專業術語，用現實世界中的奇聞軼事、基本方程、簡單圖表，講述數學的魅力，以及如何獲得用數學原理解決生活中問題的技巧。喬丹？艾倫·伯格認為，數學是人類最重要的基礎科學之壹，也是生活中最有用的思維工具。數學可以幫助我們更好地理解世界的結構和本質，應該放在每個有想法的人的工具箱裏。尤其是在當前的大數據時代，我們需要數學思維的力量來更好地解決問題，避免謬誤和錯誤。
作者在書的開頭提出了壹個觀點，數學知識可以分為四個象限，我們只需要關註其中的壹個象限。
第壹象限是簡單樸素的數學知識。這些數學知識看起來比較復雜，但就理解難度而言，其實很簡單。
第二象限是復雜但簡單的數學知識。這些數學需要壹些解題技巧和更多的細心，但這些仍然只是簡單的數學知識。我們在學校花了很多時間學習解題技巧，實際上並沒有幫助我們理解數學之美。相反，它可能會讓我們失去對數學的興趣。
第三象限是復雜而深刻的數學知識。這是專門從事數學研究的人感興趣的領域。如果想進入這個領域，需要壹定的數學天賦，而且必須非常投入，付出艱苦的努力，追求壹生。我們這些普通人可能只會在門口瞥壹眼，不知道裏面的神秘世界是什麽樣的。這方面的知識是供我們普通人膜拜的。
最值得學習的是第四象限的數學知識，即簡單而深刻的數學知識。簡單，因為這都是入門知識；深刻，因為這些知識是違背我們的直覺的，或者說需要我們更仔細的推理。比如對隨機性、因果性、回歸性的理解都屬於這壹類。在這裏，作者舉了壹個“消失彈孔”的故事:如果需要給戰鬥機加裝甲，是加在彈孔密集的機身上，還是加在彈孔較少的發動機上？二戰期間，美軍統計研究組成員亞伯拉罕·瓦爾德認為，應該安裝裝甲的地方不應該是彈孔多的機身，而應該是彈孔少的發動機。為什麽會這樣呢？先說壹個理論假設。理論上來說，飛機各個部位中彈的概率應該是壹樣的。那麽，為什麽返航飛機機身上的彈孔比發動機上的多呢？換句話說，本來應該在發動機上的彈孔在哪裏？沃爾德認為，這是因為所有引擎被擊中的飛機都墜毀了。回來的飛機，盡管機身上留下了很多彈孔，但還是能夠承受住打擊，所以能夠安全返航。比如我們去野戰醫院數傷員，妳會發現腿部中彈的士兵肯定比腦部中彈的多。腦部中槍的士兵很少存活，腿部中槍的士兵存活幾率更大。這就是所謂的“幸存者偏見”，也就是說，我們只看到了幸存者，卻沒有看到那些已經失敗死去的人。
所以這本書的重點是介紹在日常生活中如何運用第四象限數學方法分析和解決問題。作者用寓教於樂的案例和方法，幫助我們重新認識與數學相關的五個概念，即線性、推理、回歸、存在和期望。
預測未來的最好方法是從確定性開始。經濟學家經常要做預測。有個笑話說，經濟學家最喜歡做的事就是預測，但最不擅長的事就是預測。預測短期或長期相對容易，但最難的是預測中期。
因為最簡單的方法是線性外推法，所以在預測短期和長期時會有更大的確定性。線性外推的方法意味著今天發生的事情明天還會發生。現實世界中，確實有很多線性變化或者類似線性變化的現象。比如人口的老齡化，信息的增長，中國工業化和城市化不可逆轉的發展。在線性趨勢中，我們也可以區分硬趨勢和軟趨勢。硬趨勢是妳可以衡量或感知的趨勢；軟趨勢是妳似乎看到和預測的推測。比如二戰結束後，大量美軍士兵回國，出現了嬰兒潮，所以人口數據是我們可以看到和預測的硬性趨勢；然而，人們以為戰後商業訂單會暫時減少，經濟會衰退，但預期的經濟衰退並沒有發生，這是壹種更難預測的軟趨勢。
相對來說，短期和長期的技術難度都比較小，而中期的預測就比較復雜。不出意外的話，中期還會有更多的波動，這些波動的拐點很難預測。比如，即使知道股市存在泡沫，也很難預測泡沫何時會破滅。即使知道股價被低估，也很難預測何時反彈。
因此，在預測中期走勢時，壹定要謹慎。預測中期趨勢時，噪音更多，規律更復雜。我們會遇到波動和周期。所以雖然線性趨勢是最簡單直觀的，但是我們要提醒自己，不是所有的現象都是線性趨勢。盲目應用線性趨勢有時會得出非常荒謬的結論。
再舉個例子。最近在討論特朗普的減稅政策時，媒體經常提到拉弗曲線。拉弗曲線說，隨著稅率的提高，起初稅收會增加，但如果稅率過高，會影響人們的工作積極性，稅率降低，但稅收會減少。拉弗曲線是對的嗎？從數學上來說，拉弗曲線可能是對的。拉弗曲線指出，稅率和稅收之間的關系不是線性的。從常識上解釋稅率和工作意願的關系，似乎是合理的。但是為什麽大多數經濟學家對拉弗曲線嗤之以鼻呢？
因為拉弗曲線缺乏堅實的理論基礎。首先，稅率不壹定是決定政府稅收的最重要因素。增加稅收的壹個更有用的方法可能是提高稅收效率。而且減稅後，人們的工作積極性不壹定會提高。畢竟影響人的工作積極性的因素非常復雜。決定我們工作積極性的因素有兩個，壹個是基礎因素，壹個是動力因素。金錢收入只是基本因素，驅動因素包括挑戰、認同感、責任感和個人成長。
大多數經濟學家並不是說拉弗曲線的形狀不對，而是說看待稅改不能簡單地用事物。目前美國高收入的稅率遠低於20世紀的大部分時間。也就是說，很少有經濟學家認為美國現在處於拉弗曲線的下行區域。
如果單純評價特朗普減稅的效果，特朗普減稅對美國經濟的影響可能沒有壹些朋友想的那麽大。首先，特朗普的減稅政策並非發生在美國經濟相對低迷的時候。經濟學告訴我們，只有在經濟不景氣的時候，減稅對經濟增長的刺激作用才更明顯；第二，特朗普的減稅政策明顯帶有“劫貧濟富”的色彩。這將加劇美國的貧富差距，使本已撕裂的美國社會更加分裂；第三，如果在不減少政府支出的情況下減稅，很可能導致美國債務壓力越來越大。
而美國卻通過減稅讓跨國公司的海外利潤回流。資本外流壓力、人民幣重回貶值通道、被動減稅壓力、資產價格泡沫可能被動收縮，中國還能“獨善其身”多久？這次就不說太多了，後面在閱讀模塊關於“大國博弈”的部分會講到(允許我先充電再分享，捂臉hhh)。
有壹天，妳突然收到壹封來自巴爾的摩股票經紀人的郵件，推薦壹只承諾壹周後上漲的股票，但妳沒有理會。接下來的十周，他每周都推薦壹只新股，妳驚訝地發現，他預測的股票居然都漲了。那麽，在第十壹個星期，妳會選擇買他的股票嗎？這是著名的巴爾的摩股票經紀人的故事。然而，妳可能會覺得很神奇，甚至是奇跡。巴爾的摩的股票經紀人連續十次猜測股票的漲跌，但這是壹個背後隱藏著概率的騙局。知道了方法，股市白癡也能輕松實現，因為接受者不止壹個。第壹周只需要發送10240封郵件，壹半的收件人郵件預測股票上漲，另壹半做出相反的預測；下壹周，後面的收件人將不會收到郵件，剩下的5120人將分兩批繼續收到壹半壹半不同預測分數的郵件，以此類推。到第十周，只有10人會連續十周收到預測準確的郵件。妳怎麽想呢?所以我們在做數學推理的時候，要以這個故事為戒:在大數據的分析中壹定要小心，二次方程的根可能不止壹個，同樣的觀察結果可能會產生很多理論。讓我們誤入歧途的不是事情的真相，而是推理時對壹些假設的遺漏。
“推論”壹章還提到了兩個很有意思的概念:“零假設”和“顯著性檢驗”。
零假設是假設沒有效果，或者假設完全沒有效果，或者假設沒有相關性。我們做研究，要從零假設開始，然後做實驗或者收集數據，看能不能推翻零假設。如何推翻零假設？這就需要進行顯著性檢驗，這其實是壹種模糊歸謬法。
歸謬法的思想是，為了證明壹個命題不正確，我們先假設命題為真，然後再看能不能得出什麽結論。如果這個結論是明顯錯誤的，那麽假設就是壹個偽命題。也就是說，我們假設H為真。根據H，壹個事實F不成立，但F成立，所以H不成立。但是，在大多數研究中，我們不可能得出這樣確定的結論，所以顯著性檢驗就出現了。
我們假設H為真，根據H得到壹個O的結果的可能性應該很小。不幸的是，我們看到事件O發生了，所以H成立的可能性很小。比如，我們假設S先生工作積極認真。如果他工作積極認真，上班時間發現他打王者榮耀的概率會很小。但是，我們發現這個人確實有壹個重要的會議，而且他還在打王者榮耀。這是什麽意思？解釋壹下我們原來的假設，也就是說他工作積極認真的假設很可能是錯的。
所以顯著性檢驗可以分為四個步驟:
1，開始實驗；2.假設零假設成立；3.觀察實驗結果中事件O出現的概率，我們稱之為P值。p值反映零假設的可能性；4.如果p值很小，我們認為實驗結果不太可能滿足零假設。妳可以通過這種歸謬法來判斷，妳原本想檢驗的猜想具有統計顯著性。如果p值很大，我們就不得不承認零假設沒有被推翻。
當然，顯著性檢驗也有潛在的陷阱需要註意:
1和P值有多小才是顯著的？顯著和不顯著之間沒有明確的界限。
2，我們不能假設壹個因素會有影響。如果我們太想得出有影響力的結論，我們可能會操縱實驗。
3.不要誤解“意義”。很多科學術語都有誤導性，salience這個詞就是典型的例子。要分清“顯著性”和“有效性”的區別(論文寫作要點是get√)。
研究表明，高個子父母生出高個子孩子的概率不是100%。其實父母和孩子的身高都是受回歸效應影響的。在時間縱軸上受影響的、隨機的壹切都遵循這個規律。只要數據足夠大，人類的身高或智商就趨於平均，這就是大家熟悉的“大數定律”。比如栗子，大醫院的同性嬰兒年出生率會比小醫院更接近50%。妳怎麽想呢?
“少數服從多數”的原則很簡單，看似公平，但只有涉及兩種觀點時才能達到最佳效果。只要有兩種以上的觀點，大多數人的偏好就會矛盾。所以可以說，民意根本不存在。更準確的說，只有大多數人認同，民意才會存在。如果我們按照邏輯行事，我們往往需要違背大多數人的意見。對於政治家來說，合理利用不壹致的民意，只是為了滿足大多數人，這是他們的職責。
彩票的購買價值和中獎價值是不壹樣的。購買價值是妳購買壹張彩票所花的金額，而中獎價值是引入概率論後彩票的真實價值。我們可以用期望值來表示。彩票的預期價值只有低於購買價值才不值得購買。如果高於購買價值，當妳的購買金額達到壹定數額時，彩票就是值得購買的。
數學思維其實是我們的壹種本能，它其實和語言是壹個本源。我們的祖先過去住在樹上，經常需要從壹根樹枝跳到另壹根樹枝。他們需要良好的三維空間感。當它們到達開闊的草原時，需要判斷距離，這就需要二維空間感。隨著生活環境越來越復雜，我們的祖先開始有了判斷因果關系的意識。然而，為什麽自然的數學思維沒有固化到我們的日常思維中呢？為什麽我們大多數人還是覺得數學太難了？這裏的關鍵是抽象。
抽象是數學工具箱中最強大的工具。數學家壹有機會就會嘗試抽象。最終，他們會完全忘記現實世界，專註於抽象的定義和概念。所以作者會說，孩子開始放棄學習數學有兩個時刻，壹個是接觸分數的時候，壹個是學習代數的時候，這是壹個兩步抽象的過程。抽象可以分為四個層次:眼見為實，思則信，見則不信，思則不信。最後，“思空”是數學思維的層次。數學對象是完全抽象的，它們與現實世界沒有簡單或直接的聯系。數學是抽象之上的壹個抽象層次。比如我們先在加減中接觸到交換律和結合律，延伸到乘法，再到幾何，再到函數，集合，矩陣。如果我們學數學，也會考慮群什麽時候能滿足交換律。數學的本質是壹致的。這是壹門關於模式的科學。有些模式相對簡單，而有些相對復雜。復雜的模式只是模式的模式，甚至是模式的模式，於是我們開始迷茫。我們可以把數學想象成用樂高積木搭建的宏偉建築。雖然看起來很復雜，但是仔細看就會發現，它是由簡單的模塊組裝而成的。數學的本質是簡單的東西是復雜的，而復雜的東西其實是簡單的。這又回到了這本書的主題，為什麽要學習簡單而深刻的數學知識？
看了拉弗曲線，就能理解稅率和政府的關系了。只有知道了“線性中心主義”，才能明白“比例換算”是如此的荒謬；“大數定律”是無情的手；“比盤子大的餅狀圖”反映了“真實但不準確”的數字錯位...這些數學常識告訴我們，壹定要註意數學出現的場合。沒有附帶的情況，數學就會成為妳的工具，政治選票，市場數據，盈利報告。這個那個，他們往往被包裹在繁瑣重疊的數字裏。能打破它們的，是數學思維培養出來的洞察力。這就是作者想要的。
以上。