總之，針對隨機變量建立壹套類似於普通微積分的理論，讓我們從普通變量中學習。
像微積分壹樣對隨機變量做微積分。
知道了這壹點，我們往往可以把普通微積分的思維方式對應到隨機微積分上。比較
比如壹些概念，如果壹開始不明白這個概念的作用是什麽，可以在普通的微中思考壹下
積分中與此概念相對應的概念的作用。
2.隨機微積分的理論框架是如何建立的？
總之，按照同樣的模式畫壹個葫蘆。這裏的“樣本”指的是普通微積分。
在普通微積分中，最基本的理論基礎是“收斂”和“極限”
)，其他所有概念都是基於這兩個基本概念。對於隨機微積分，在我們建立
引入現代概率論體系(基於實分析與測度論)後，我們就像剛開始開發普通微分產品壹樣。
首先，建立了“收斂”和“極限”的概念。不同於普通的數學分析，現在我們玩
處理隨機變量比以前的普通變量復雜得多，相應的“收斂”和“變”
極限的概念也復雜得多。事實上，隨機微積分的“收斂”不止壹個，相應的“極限”也不止壹個
“不止壹個。常用的收斂概念是以概率1收斂(差不多
當然)和均方收斂。
另壹個需要新建立的是積分變量。在普通微積分中，積分變量是壹般的實變量。
，也就是被積函數的因變量，基本上我們不需要做什麽。然後稍微。
積分的積分變量是布朗運動，在數學上嚴格定義和構造布朗運動需要花壹點功夫。
這個過程是構建隨機微積分過程中的壹個基本環節。
在“收斂”、“極限”、“積分變量”都定義好之後，我們就可以如法炮制，像普通的
微積分中的定義定義了下壹系列類似的概念。
3.普通微積分和遵循同樣的模式有什麽區別？
最基本的區別是，當前的積分變量是布朗運動，它是時間的函數，但它有壹個特殊的特征。
布朗運動處處連續，但處處不可微。正是這種特殊的性質使得隨機微積分隨之而來
普通微積分不壹樣。
在普通微積分中，我們實際上已經接觸過用“基本變量的函數”作為積分變量的情況。
比如g(x)是x的函數，我可以用g作為積分變量來積分:
\int_{g=g(a)}^{g=g(b)}航空公司
如果g(x)是可微函數，這是我們在普通微積分中已經解決的問題，因為dg =
G'dx，所以上面的公式可以寫成:
\int_{x=a}^{x=b} f(g(x)) g'(x) dx
但是對於布朗運動w，dW/dt不存在。因為這個“差”不存在，所以導致了普遍的差積
上述可以直接在微積分中進行的微分運算，在微積分中是不能直接進行的。
比如普通微積分，有基本的微積分公式。
(ln x)' = 1/x
因此
dx/x = d(ln x)。
但是在隨機微積分中，dW/W不能這樣計算。
dX/X =/= d(ln X)，
因為ln(X)是不可導的。
這就要求我們建立新的基本操作規則。
4.隨機微積分的基本運算規則是什麽？
在普通微積分中，我們首先定義牛頓-萊布尼茲公式。
f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx
然後我們定義壹系列基本算法，比如
d(x+y)= dx+dy；
d(xy) = x*dy + y*dx
以及基本的微積分公式，比如
(x^2)' = 2x；
\int exp(x)dx = exp(x).
然後我們實際做微積分運算的時候，主要是根據算法劃分要計算的微分或者積分。
求解這些微積分基本公式，然後代入這些微積分基本公式進行計算。
在隨機微積分中，我們做同樣的事情。
隨機微積分與普通微積分在運算上的區別在於，它與牛頓-萊布尼茨公式基本相反
壹個新的微積分公式。
普通微積分的牛頓-萊布尼茨公式是通過分區間近似求和，然後取極限得到的。隨機微分乘積
我們可以用同樣的方法定義積分，但是近似的方法不壹樣，會導致計算。
結果不壹樣。
目前最實用的近似方法是由日本數學家伊藤提出的，即在計算某個單元格時
當對整個積分作出貢獻時，用這個差的左邊界的函數值代替整個區間的函數值。
(註:定義普通微積分時，我們用的是這個區間內的任意壹點。妳能使用這個的原因
區間上的任何壹點都是由於函數的可微性。在這裏，函數是不可微的，所以不能像普通微積分那樣
樣本被任意點的函數值代替)
利用這種近似方法，我們可以得到下面的基本公式(類似於普通微積分中的牛頓-萊布尼茨公)
類型對應)，Ito公式:
f(w(t))-f(w(0))= \int_0^t f '(w(u))dw(u)+1/2\int_0^t f ' '(w(u))du
等式右邊的第二項是所謂的伊藤項，它在實踐中區分了隨機微積分和普通微積分。
有了Ito公式，我們可以計算壹些基本的常用微積分公式，比如對於f (x) = ln (x)，f。
= 1/x，f'' =-1/x 2s，所以
ln(w(t))-ln(w(0))= \int_0^t(1/w(u))dw(u)+1/2 \int_0^t(-1/w(u)^2)杜
下壹步，就像普通微積分壹樣，用算法把復雜的微積分分解成基。
這個微積分，然後應用基本公式。
實際的隨機微積分壹般涉及普通變量時間t和隨機變量布朗運動W(t)。
涉及T的部分註意普通微積分的規律，涉及W(t)的部分註意隨機微分積。
積分定律。
5.關於隨機微分方程
如果妳學的是隨機微分方程，那麽妳會遇到隨機微積分中最大的笑話，那就是，雖然
人們經常談論隨機“微分”方程，但實際上他們處理的都是隨機積分方程。
比如描述股票運動最著名的方程(其解是幾何布朗運動)，我們通常
請參見以下表格:
dS = \mu S dt + \sigma S dW
這個看似微分的方程其實不是微分方程，原因很簡單，S不是處處可微的。
所以不能把dt移到左邊的分母得到類似dS/dt的東西。所以這個和這個不壹樣。
微分方程，實際上，它只是下列積分方程的簡稱:
s(t)-s(0)= \int_0^t \ mus dt+\int_0^t \西格瑪S dW(u)
我們通常所說的隨機“微分”方程的壹般形式如下:
dX(t) = \mu(t，X(t))dt + \sigma(t，X(t))dW(t)
經過剛才的例子，妳很容易理解這其實是壹個積分方程。
求解隨機“微分”方程的具體方法沒有什麽新意，都是和普通的常微分方程、偏微分方程壹樣的。
和分方程壹樣，只是Ito積分要適用於所有以W為變量的微分和積分。
公式。
正如解析方法在常微分方程和偏微分方程中所能解決的問題非常有限壹樣，解析方法也在隨著常微分方程的發展而變化。
在機微分方程中能做的也很有限，實際工作中主要用數值法。直接求解隨機性
微分方程的數值方法其實就是模擬。
模擬主要分為強近似和弱近似。前者模擬大量符合微分方程的過程，然後根據模擬出的
這些過程用於計算統計數據。後者也模擬了大量的過程，但這些過程並沒有被方程嚴格描述。
過程的性質，但只是在某些方面(如結束時值的期望和方差)接近方程。
描述的過程。
隨機微分方程的數值解基本上是常/偏微分方程(如歐拉方程)的數值解的擴展。
方法與歐拉的常微分方程方法幾乎完全相同。不同的是
歐拉法求解常微分方程，這個逐步計算各點值的過程只需要進行壹次。
求解隨機微分方程時，壹次只能得到壹個樣本過程。為了解壹個方程，這個
這個過程需要重復很多次。
6.隨機微分方程與偏微分方程的關系
重新寫出隨機微分方程的壹般形式。
dX(t) = \mu(t，X(t))dt + \sigma(t，X(t))dW(t)
假設我們關心X(T)的壹個函數的期望值(在實際工作中，我們幾乎總是只關心這個)
比如E[X(T)]是X(T)本身的期望，Var[X(T)]是X ^ 2(T)的期望。假設這個函數是h，
現在我們應該根據t時刻的信息來推斷h(X(t))在t時刻的期望..
換句話說，我們需要計算h(X(T))在時間T的條件期望，我們將這個條件期望寫成g(t，X(T))。
g(t，X(t)) = E[h(X(T))|F(t)]。
顯然，這個G也是壹個隨機過程。此外，可以證明在壹定條件下，G是a
鞅.既然是鞅，那麽如果計算g的微分，那麽微分中的dt項應該是0。
這是建立隨機微分方程和偏微分方程最基本的出發點。實際上dg中的dt項是0，可以推導出來。
得出以下結論:
g_t(t，x) + \mu(t，x) g_x(t，x)+1/2 \sigma^2(t,x)g _ { xx }(t，x) = 0
公式中的下標代表偏導數。
所以我們從隨機微分方程得到壹個偏微分方程。註意這個偏微分方程非常
用，因為在實際工作中，我們大多數情況下並不關註X(t)作為隨機過程的細節。
並且更加關註他的壹些函數的期望和條件期望，比如E[h(X(T))|F(t)]。頂部呢
這個微分方程就解決了這類問題。很多時候，我們面臨著壹個隨機微分方程問題。
我們其實不需要求解隨機微分方程，只需要求解相應的偏微分方程。
上述關系被稱為費曼-卡奇定理。
順便說壹下，金融學中著名的布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程其實就是費曼-
只是Kac定理的壹個小應用。
如果我們計算EXP (-r (t-t)) h(X(T))而不是h(X(T))的條件期望，基於同樣的
樣本推導，我們可以得到壹個類似的偏微分方程:
g_t(t，x) + \mu(t，x) g_x(t，x)+1/2 \sigma^2(t,x)g _ { xx }(t，x) = rg(t，x)
這是布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程。