所謂華林問題是指以下猜想:每壹個正整數都是四個平方的和，九個立方的和，壹般是g(k)的k次方的和。在1770中，J.-L .拉格朗日證明了每壹個正整數確實是四個平方的和，即g(2)=4。1909年，大數學家d .希爾伯特證明了g(k)壹定是壹個有限數。在1928中，楊武之的導師狄克遜證明了g(3)=9。另外，S.W. Baer證明了任何大於23×1014的整數都是八個立方數之和。於是狄克遜讓楊武之考慮帶系數的韋林問題，即每個正整數F是否可以表示為F = RX31C7，其中C7 = X31X321X37，r = 0，1X37，2，…，8。楊武之很快得到了以下結果:
1.任何大於14.1 × 4016的正整數都可以表示為rx3和C7，其中r = 5，7。
2.任何大於(30.1) × 4196的正整數都可以表示為3x3 C10 C7。
3.任何大於23×1014的正整數都可以表示為8×c3和10個C7。
4.任何大於23×1014的奇正整數都可以表示為rx3和C7，其中r = 2，4，6。
5.任何大於23×1014的奇正整數都可以表示為2×3 ^ 17。
楊武之的博士論文也討論了用系數表示7次冪。
楊武之最好的作品是關於金字塔數的韋林問題。金字塔的個數p (n) = 1/6 (n3-n)是三角形個數f(n)= n/2(n ^ 10 1)的推廣。在1640中，費馬猜想每壹個正整數都是不超過三個三角形之和。事實證明這是正確的。至於每壹個正整數能否表示為幾個金字塔之和，已經陸續研究過了。在1896中，W.J. Maillet首先得到了每壹個足夠大的正整數都是12個金字塔的和。1928年，楊武之在他的博士論文中證明:
每個正整數都可以寫成9個金字塔之和。這個結果在20多年裏沒有改善，直到G.N .沃森在1952把“9”簡化為“8”。長達1991年，這仍然是被證明的最好結果。
電子計算機出現後，很多人做過實際計算，認為除了241例外，所有小於106的正整數都是五個金字塔之和。在1991年中，和鄧的計算表明，除了241例外如65438，27，…，343867外，所有小於109的正整數都是四個金字塔數之和。他們懷疑，除了這個241的數，代表任何正整數都足夠了，只要四個金字塔就夠了。
楊武之的博士論文是在美國數學學會的會議上首次介紹的(1928 4月6日)。同年在《美國數學會公報》第34卷第412頁報道。全文發表於1931清華科學報告。
楊武之在清華大學講授了許多代數課程，尤其是20世紀30年代初的群論課程，影響了壹大批後學者。
華來到清華大學後，選擇數論作為自己的研究方向，並把研究重點放在問題上，明顯受到了的直接影響。華在1980給香港《廣角鏡周刊》寫信說:“是教授把我引上了數論之路。”
華於1936年赴英，師從哈代學習解析數論，成績斐然。楊武之很高興他的學生超過了他。1938華回國任教於西南聯大。時任系主任的不顧學校裏的各種反對，提出破例向學校提拔華的職務，即跳過講師、副教授，成為正教授。起初，學校拒絕了華，因為他沒有在英國獲得博士學位，但經過的努力，他終於得到批準。所以，華在上述給廣角鏡的信中也寫道:“是教授在沒有講師、副教授的情況下，從英國回來後直接提到我是正教授的。”
在西南聯大期間，和華曾在昆明西北郊的大塘子村住過。這兩家過去關系密切。當時，華給寫了壹封信，信中說:“古人雲:生我者，父母知我者，叔寶也。我的包叔叔是楊石頁。”
楊武之研究的迪克森學派在本世紀初的美國有很大的影響。後來由於英國、蘇聯等國解析數論的興起，逐漸衰落。因此，盡管楊武之對數論的研究起到了啟發和推動作用，但遺憾的是，由於狄克遜學派的衰落，它未能發揮顯著的影響。中國數論學派在華的領導下，取得了很大的進展。人們將懷念楊武之早期的先驅作用。
楊武之和楊振寧
除了物理系直接授課的教授，楊武之是對楊振寧影響很大的壹個人。楊武之是將西方現代數學方法引入中國的中國現代數學先驅之壹，也是為中國數字化教育做出重要貢獻的數學家。楊武之是壹位非常嚴肅的教授，也是壹位非常嚴格的父親。在日常生活中，他潛移默化地教給了孩子很多數學知識。在學校，當楊振寧遇到不懂的問題和難以處理的事情時，他總是去數學系的辦公室向他的父親尋求建議。楊振寧後來說:“父親對我們的孩子有很大的影響。從我自己的角度來說:我小時候受他的影響，早年對數學產生了濃厚的興趣，這對我後來從事物理工作有著決定性的影響。”楊武之對楊振寧的影響已經發生並存在了很長時間。