為了推導永久期權的定價，首先要介紹壹個非常經典的思維方法:δ對沖技術。也就是說，通過構建壹個壹級資產(股票)和期權∏ = V-δ S的投資組合，壹段時間後，該投資組合的收益相當於在彌補了賣空股票的股息損失後，買入同等價值的國債。也就是說dv-δ ds = r (v-δ s) dt+δ sqdt。因為是永久期權，V只與S有關，根據期權理論研究，總是假設S滿足ds=r(S，t)dt+σ(S，t)dWt。將這個公式與ito公式充分微分，可以得到δ = DV/DS。(如果對這部分不了解，可以參考相關參考書，因為這部分內容屬於BS定理，壹般在美式期權之前講授。我想妳沒有問。
把δ = dv/ds代入回dv-δ ds = r (v-δ s) dt+δ sqdt，就可以得到方程。
[(σs)^2*d^2v/(ds)^2]/2+(r-q)sdv/ds-rp=0
同時還有初始條件V(S0)=S0-K(敲定價)和V(0)=0(當然，當股價跌到0時期權就成了壹張紙)。
這裏其實是壹個很基礎的工作，因為它不同於有持續期的期權方程，需要求解熱傳導方程。現在方程[(σs)2 * d2v/(ds)2]/2+(r-q)sdv/ds-RP = 0是壹個簡單的二階常微分方程，利用特征根的方法和兩個定解條件，很容易得到。
下面這個步驟應該是永久美容解決方案的核心部分。
上面得到的期權定價是S0的函數，換句話說，期權持有者需要決定S0有多大，他在行權時可以獲得最大收益。這就是所謂的自由邊界，V(S)與S0的大小密切相關，相互決定。
我現在要做的就是把V作為S0的函數，對S0求導。當dV/dS0=0時，確定的S0是使V(S，S0)最優的S0。我做的結果是S0=[a/(a-1)]*K，期權定價V (s) = {
不知道妳能不能理解。我覺得這個問題應該是研究生。靜下心來好好演繹，並不是很難。