(中國尤氏大學(華東)地球科學與技術學院，山東青島266555)
基金項目:國家973項目(no . 2065438+2011cb 202402)、石油大學創新基金(No.27R1001046A)和(Y090104)。
作者簡介:田坤，男，博士研究生，現從事地震波正演模擬研究。郵箱:tiankunwudi@163.com .
摘要:用波動方程進行數值模擬時，由於介質的計算範圍肯定是有限的，所以會人為造成計算邊界，不可避免地產生邊界反射。因此，需要使用吸收邊界條件來吸收入射到邊界上的能量，減少邊界反射的影響。PML吸收層技術被證明是壹種非常有效的邊界吸收技術，對體波和表面波的吸收都有很好的效果，在彈性波的數值模擬中得到了廣泛的應用。然而，傳統的PML技術在大角度入射，即掠入射的情況下仍然存在壹些問題。掠入射的情況下，衰減不夠，反射系數比較大。色散後會產生嚴重的假反射，降低吸收效果，對真實波場產生嚴重影響。這種影響會隨著入射角和炮檢距的增大而增大，在實際應用中會對成像、反演等其他處理產生不利影響。掠射是常見的，如薄片區、震源位置靠近研究區邊緣、大炮檢距接收等。基於壹階速度-應力方程，提出了卷積完全匹配層技術，並用交錯網格有限差分法實現。結果表明，CPML技術可以有效改善掠射下的吸收效果，特別是對於散射場等弱能量波場。另外，實現過程中不需要拆分變量，應用更加方便簡單，易於編程實現。褶積以遞歸形式計算，不會增加計算量，儲量變化不大。
關鍵詞:PML；；吸收邊界條件；彈性波；數值模擬；卷積完全匹配層技術
壹種改進的碳酸鹽巖巖溶儲層完全匹配層吸收邊界條件
田坤、李振春、黃建平、李娜、孔雪、劉玉錦
(中國石油大學(華東)地球科學學院，青島266555)
文摘:從波動方程出發進行模擬時，不可避免地會造成人工計算邊界和人工邊界的反射，因為計算範圍有限，所以需要吸收邊界條件，使入射到邊界上的能量被吸收，使邊界反射的影響最小化。完全匹配層(PML)吸收邊界條件被證明是壹種非常有效的吸收體波和面波的彈性波方程數值正演模擬方法。但是在掠入射情況下，經典的離散PM L方法仍然存在壹些問題，即衰減不夠，反射系數在壹定程度上較大，這些問題會在色散後產生嚴重的假反射，降低吸收效果，從而對實際場造成嚴重影響，而且這種影響隨著入射角和炮檢距的增大而增大，對實際應用中的成像和反演等處理都會產生不利影響。但是掠入射是自然的，例如在非常薄的網格切片的情況下，以及源位於靠近網格邊緣的情況下，或者在接收器位於非常大的偏移的情況下。本文基於壹階速度-應力偏微分波動方程，提出了壹種改進的掠入射PML吸收邊界條件，稱為卷積PML(CPML)。采用交錯網格有限差分法實現。結果表明，CPML技術在掠入射情況下可以獲得較好的結果，特別是對於散射場等弱反射波場。由於變量不可拆分，實現方便，易於使用和編程。計算卷積時的遞歸不會增加計算成本。記憶存儲也類似於經典的PML
關鍵詞:PML；吸收邊界條件；彈性波；正演模擬；CPML
介紹
在過去的幾十年裏，由於計算能力的快速發展，復雜介質中地震波傳播的數值模擬方法的研究越來越廣泛和深入。其中有限差分法[1 ~ 3]應用最為廣泛，在有限區域的有限差分正演模擬中，貝倫格(1994)提出的完全匹配層(PML)吸收邊界條件是最有效的吸收邊界條件[4]。完全匹配層中的波動方程可以看作是常規波動方程的推廣。當波在其中傳播時，相位發生變化，振幅呈指數衰減。PML和主研究區彈性參數相同，但衰減系數不同，波阻抗完全匹配，理論上不會發生反射。Chew和Weedon(1994)引入了復擴展坐標系來制定PML吸收邊界條件[5]；rappaport(1995)證明了PML介質等價於在吸收邊界區域引入各向異性介質[6]；大量研究[5，7]表明，PML吸收邊界條件比指數衰減吸收邊界條件[8，9]，廖吸收邊界條件[10]，Higdon吸收邊界條件[11]和傍軸近似吸收邊界條件[12]具有更好的吸收性能。陳等(1997)、王和Oristaglio(2000)成功地將吸收邊界條件應用於電磁波方程的求解[7，13]。近年來，PML吸收邊界條件也被應用於聲波和彈性波的有限差分正演模擬[13 ~ 16]。另外，Teixeir和Chew(1999)和Chew和Liu(1996)分別在柱坐標系和球坐標系中實現了吸收邊界條件[17，18]。
然而，傳統的PML也有壹些缺陷。離散PML層的反射系數不嚴格為零，尤其是在大入射角的情況下。這種情況下，相當壹部分能量以反射波的形式送回主要研究區，大入射角的情況比較常見，如薄膜區、震源位置靠近研究區邊緣、大炮檢距接收等。為了克服這個問題，提出了壹種PML方法來修改復坐標變換，以改善色散後大入射角的吸收效果，並將其應用於麥克斯韋方程組的求解(Roden和Gedney，2000)，命名為卷積完全匹配層(CPML) [19]。本文用這種方法求解彈性波方程。結果表明，CPML技術能有效提高掠吸收效果，且在實現過程中無需拆分變量，應用更加方便簡單。卷積以遞歸形式計算，不會增加計算量，存儲容量變化不大。
1 CPML的基本原理
實質上，PML技術將波動方程轉換成PML層中的復坐標。對於變換後的坐標，方程及其解的形式不變，但對於原坐標解是衰減的。在傳統的PML中，頻域的坐標變換是(以X為例):
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在CPML中，公式(3)被擴展以使其形式更壹般:
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其中αx≥0，κx≥1，可以看出，當α x = 0，κ x = 1時，傳統的PML是CPML的特例。
將坐標變換關系變換回時域，用表示1/sx的傅裏葉逆變換得到
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根據公式(4)
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δ和1和e-atH(t)和1/(a+I ω)是傅立葉變換對，所以
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這樣CPML中的坐標變換關系就分成了兩部分，其中第壹部分很容易計算，只要空間導數除以系數κ，最重要的是計算第二部分的卷積。時間n的卷積寫在離散的交錯網格中
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在交錯網格的情況下，可以寫成
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在…之中
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其中:
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因為公式(12)是簡單的指數形式，所以它可以寫成遞歸形式:
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這樣，在主要研究區進行常規計算，通過以下關系在PML層進行坐標轉換後的計算:
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ψ x可以通過(13)的遞歸得到。
這是CPML的基本原理，很容易推廣到Y和Z方向。角度類似於傳統的PML，所以要同時考慮各個方向。
2正演模擬計算與比較
為了驗證CPML的有效性和優越性，對各向同性介質進行了計算，並與傳統的PML計算結果進行了比較。圖1是壹個層狀介質模型。采樣點為301×301，網格間距為5m×5m。上層的縱波速度分別為3000米/秒、1600米/秒，下層的縱波速度分別為3300米/秒、1900米。道間距5m，采樣率0.5ms，采樣時間1.5s圖2和圖3分別是主頻為20Hz的Z分量炮記錄和波場快照的對比。可以清楚的看到，PML對上層界面的反射比較強烈，對鏡頭錄制有影響，而CPML效果更好。
圖4和圖5分別是主頻為30Hz的Z分量炮記錄和波場快照之間的比較。也可以看出CPML比PML有更好的吸收效果。圖6是三個單通道的波形比較圖。單通道1，2，3的坐標分別為(201，5)，(251，5)，(301，5)。0 ~ 1.2s的波形對比在圖6左側。
圖1分層媒體模型
圖2主頻為20Hz的炮記錄對比
圖3主頻為20Hz的0.3s波場快照(上)與局部放大圖(下)對比。
圖4主頻為30Hz的炮記錄對比
圖7是具有散射體的介質模型。(225，15)處有壹個散射體。散射體的縱波波速和橫波波速分別為2700m/s和1300m/s，其他參數與之前相同。圖8和圖9分別是主頻為30Hz的Z分量炮記錄和波場快照之間的比較。可以看出，PML的假反射對散射場有相當大的影響，在實際應用中會對成像、反演等其他處理產生不利影響。
圖5主頻為30Hz的0.3s波場快照(上)與局部放大圖像(下)對比。
3結論
本文在交錯網格有限差分條件下對傳統的PML技術進行了推廣和延伸，推導出了CPML時域坐標變換關系的遞推公式。通過模型試算對比分析，得出以下結論:(1)傳統PML反射系數色散後不為零，特別是在大入射角、大炮檢距的情況下，會產生強烈的假反射，降低吸收效果，產生嚴重的真波場。(2)改進的CPML技術可以增強掠入射波場衰減，降低反射系數，有效提高匹配層的吸收效果；(3)對於有散射體的復雜介質模型，傳統的PML也會產生假反射，嚴重影響散射場等弱能量波場，在實際應用中會對偏移和反演產生不利影響，而CPML技術也可以提高吸收效果，減少不利影響；(4)CPML技術采用非分裂變量的卷積方法計算卷積，遞歸計算卷積，使其存儲量和計算量與傳統PML相比變化不大，不會增加計算成本。
本文的CPML技術可以在不增加計算成本的情況下有效提高掠吸收效果，在薄膜區域、震源靠近研究區域邊緣、大偏移距接收等諸多實際情況下具有良好的應用前景。在偏移成像和其他處理中，它也是吸收邊界條件的好選擇。然而，CPML並沒有改變傳統PML的基本思想，因此仍然存在壹些問題，如對於某些各向異性介質的固有不穩定性，以及離散化後匹配層的反射系數不嚴格為零等。本文在層的外圍采用了Dirichlet邊界條件，在後續的研究中可以用傍軸吸收邊界條件代替，進壹步提高離散化後的吸收效果。另外，二階位移波動方程的CPML吸收邊界條件需要進壹步研究。CPML技術及相關方法的進壹步研究將有利於西部碳酸鹽巖勘探區復雜近地表速度模型下的正演模擬，特別是對碳酸鹽巖勘探區近地表散射波機理的研究，為今後碳酸鹽巖勘探區的勘探開發服務。
圖6不同單通道的CPML和PML波形比較。
圖7帶散射體的介質模型
圖8 Z分量炮記錄與散射體模型的比較
圖9 Z分量0.3s波場快照與散射體模型(上)和局部放大圖像(下)的比較
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