摘 要
本文主要研究企業退休職工養老金制度改革的方法和模型，在研究過程中,我們結合概率論與數理統計、最小二乘法、線性回歸以及計算機相關的知識，運用MATLAB數學軟件，針對退休職工養老金制度改革的實際情況，並且研究了養老保險基金收支平衡的壹個重要因素是替代率，我們研究的替代率為42.9%，比較接近山東省的養老保險基金收支平衡。
問題壹：通過統計資料運用MATLAB做出1996-2010年人口平均工資的散點圖；從散點圖中可看出數學模型近似為直線y=kx+b，最終決定采用最小二乘法來估計模型中的未知參數k和b,對回歸模型做檢驗、預測、控制運用，並從建立線性回歸模型中可以看出， 和F都明顯偏大，表明回歸直線對樣本數據的擬合程度很高，由F分布表查得 (1,13)=4.67,滿足關系F> ，說明回歸方程的線性回歸效果顯著，最終整合後的答案為75992.2元。
問題二：通過用MATLAB軟件分別算出該企業總收入及企業平均工資，從而算出2009年該企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比，即20-24歲職工數至55-59歲職工工資於該企業平均工資之比值分別為：0.669236、0.804927、0.982514、1.066668、1.172806、1.266624、1.208664、1.155042。
如果把這些比值看作職工繳費指數的參考值，考慮該企業職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養老保險，壹直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），根據 = = = 並結合不同情況計算各種情況下的養老金替代率。
問題三：結合已知的數據分別算出2000-2024年社會統籌基金賬戶後所剩的個人工資、個人繳費、存入銀行的計息。得出不同情況下的資金缺口狀況。
問題四：融合所有數據，如果既要達到目標替代率，又要維持養老保險基金收支平衡，則可分三種情況 。
1.如需接近目標替代率，則需提高“社會統籌”與“個人賬戶”的繳納比例。
2.如略微提高“社會統籌”的繳納比例，則比較接近目標替代率。
3.如降低“社會統籌”與“個人賬戶”的繳納比例，則需延長職工退休年齡，而職工享受養老金待遇的時間較短。
關鍵詞：養老金 個人賬戶養老金 替代率 收支平衡 社會統籌基金
壹、 問題的背景與重述
1．1 問題的背景
養老金是用於保障職工退休後的基本生活需要。目前我國養老保險基金是把職工工資總額按20%繳納到社會統籌基金賬戶，再按個人工資的8%繳納到個人賬戶。退休後，按職工在職期間每月或年的繳費工資與社會平均工資之比，再考慮到退休前壹年的社會平均工資等因素，從社會統籌賬戶中撥出資金，加上個人工資賬戶中壹定比例的資金，作為退休後每個月的養老金。如果職工死亡，社會統籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的余額可繼承。個人賬戶儲存額以銀行當時公布的壹年期存款利率計息，利率統壹設定為3%。
養老金的發放與職工在職時的諸多因素有關。隨著我國經濟的迅速發展，預計在本世紀中葉將會達到中等發達國家水平。目前我國養老保險管理的目標是養老保險基金的收支平衡，而影響養老保險基金收支平衡的壹個重要因素是替代率，未來目標替代率確定為58.5%。
1．2 問題的重述
問題壹：通過對未來30年中國經濟發展和工資增長形勢的預測和分析，得出可以用最小二乘法來估計模型中的未知參數k和b,對回歸模型做檢驗、預測、控制，並進行假設做出預測從2011年至2035年山東省職工的年平均工資。
問題二：如果要計算2009年該企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比，首現需考慮各年齡段職工工資和該企業平均工資，最終確定它們的比值。如果繼續把這些比值看作職工繳費指數的參考值，考慮該企業職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養老保險，壹直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），通過Excel進行數據整理從而計算出各種情況下的養老金替代率。
問題三：如何通過調配“社會統籌”與“個人賬戶”的繳納比例方式使其既要達到目標替代率，又要維持養老保險基金收支平衡。
問題四：如果既要達到目標替代率，又要維持養老保險基金收支平衡，妳認為可以采取什麽措施。請給出妳的理由。
二、模型假設
2.1 假設在預測期內無戰爭或自然災害等引起的大規模傷亡或遷移，中國以切實實現發展方式轉型，在環境保護、內需驅動、縮小收入差距以及發揮市場機制主導作用方面取得明顯進步，即中國在2013年後經濟能夠平穩的增長。
2.2 由於1978-1996年政治、經濟、文化等因素，假設從1996年開始預測職工平均工資。
2.3 假設2013年之後職工工資的增長率仍延續1996-2010年的增長率。
2.4 假設職工工資總額的福利分紅獎勵全都體現在個人工資上。
三、符號說明
x: 年份
:平均工資
a: 基礎養老金
b: 個人賬戶養老金
d: 退休前工資
w：職工剛退休時的養老金
：參保人員退休前1年、2年、……、m年全國/省/地市社會平均工資
：參保人員退休前1年、2年、……、m年本人繳費工資額
m:企業和職工實際繳納基本養老保險費的年限
n：個人賬戶養老金計發月數
：退休前第i年的繳費指數，i=1,…,m
S：本人指數化月平均繳費工資
：替代率
四、模型的分析與建立
4.1 問題壹
未來30年，在正常情況下，假設中國經濟增速保持年均8%，美國經濟增速為年均2%，日本經濟增速年均仍為2%，那麽到2040年，中國GDP約為50.31萬億美元，美國約為27.17萬億美元，而日本只有約9.24萬億美元。也就是說，30年後的中國GDP總量至少為美國的1.4倍，日本的5倍，盡管在人均水平上中美日之間仍存在巨大的發展差距，但從國家可推動資源層面講，中國對美國已具有絕對優勢，以此來看，中國在未來的發展前景是壹片光明的。
通過對中國未來的分析，我們預測2011-2035年山東省職工的年平均工資模型大致類似人口增長模型，因此，可以用人口增長模型的壹些知識進行求解，通過統計資料運用MATLAB做1996-2010年人口平均工資的散點圖；
1）在MATLAB運行窗口輸入：
x=[1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010]
y=[5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074]
save liu x y
p=polyfit(x,y,1)
plot(x,y,'*')
輸出見圖4-1
圖4-1
經過多次采用不同方法擬合之後和通過圖4-1散點圖可看出起年平均工資模型近似為直線y=kx+b
2）模型建立求解：
表壹 山東省職工歷年平均工資統計 單位:（元）
年份
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
平均工資
5809
6241
6854
7656
8772
10007
11374
12567
續表壹
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
平均工資
16614
19228
22844
26404
29688
32074
通過以上數據可知，用最小二乘法來估計模型中的未知參數k和b,可對回歸模型做檢驗、預測、控制。MATLAB統計工具箱中提供了回顧分析的命令，下面運用其建立線性回歸模型：
在MATLAB軟件運行窗口輸入：
p1=num2str(p,6)
x1=linspace(1996,2009,10)
y1=polyval(p,x1)
plot(x,y,'*',x1,y1,'r:',x,y,'b')
load liu %
x
y
x=[ones(15,1),x']
[b,bint,r,rint,stats]= regress(y',x)
num2str(b,6)
輸出：
stats =
0.929171805799834
170.542728242663
7.52893349017286e-009
5895340.25833333
ans =
-3.78017e+006
1894.92
即數學模型 y=1894.92x-3780170
3)模型檢驗
1.數據解釋：
①參數估計 =-3780170， =1894.92
s= =5742180.211
②方程 =-3780170+1894.92x
2. 模型檢驗結果為 =0.929171805799834, F=170.542728242663,
由此看出， 和F都明顯偏大，表明回歸直線對樣本數據的擬合程度很高，由F分布表查得 (1,13)=4.67,滿足關系F> ，說明回歸方程的線性回歸效果顯著。
根據以上數學模型，我們下面預測2011-2035年的山東省職工的年平均工資
運用MATLAB軟件計算函數值指令：
>> p=[1894.92 -3780170];x=[2011,2012,2013,2014,2015,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021,2022,2023,2024,2025,2026,2027,2028,2029,2030,2031,2032,2033,2034,2035];
polyval(p,x)
ans =
Columns 1 through 5
30514.1200000001
32409.04
34303.96
36198.8800000004
38093.8000000003
Columns 6 through 10
38093.8000000003
39988.7200000002
41883.6400000001
43778.5600000001
45673.48
Columns 11 through 15
47568.4000000004
49463.3200000003
51358.2400000002
53253.1600000001
55148.0800000001
Columns 16 through 20
57043
58937.9199999999
60832.8400000003
62727.7600000002
64622.6800000002
Columns 21 through 25
66517.6000000001
68412.52
70307.4399999999
72202.3600000003
74097.2800000003
Column 26
75992.2000000002
所以根據以上數據可預測2011-2035年山東省職工的年平均工資如下：
4.2 問題二
根據已有材料數據（附件）進行整理，如果要計算2009年該企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比，需通過各種假設關於該企業某職工自 2000年起從30歲開始繳養老保險，壹直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），從退休後壹直領取養老金，至75歲死亡，具體年齡段經過整理如下：
通過應用軟件分別算出該企業總收入及企業平均工資、從而算出2009年該企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比，20-24歲職工數至55-59歲職工工資於該企業平均工資之比分別為：
0.669236、0.804927、0.982514、1.066668、1.172806、1.266624、1.208664、1.155042
並以餅狀圖顯示如下：
如果把這些比值看作職工繳費指數的參考值，考慮該企業職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養老保險，壹直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），從而計算各種情況下的養老金替代率。
替代率： = = =
基礎養老金：a=( +S)/2*m*1%
個人賬戶養老金：b=[( + +...... + )*8%]*[1+ ]/n
職工剛退休時的養老金：w=a+b
結合以上相關數據得：
所以替代率： =
通過應用軟件可把各種情況下的養老金替代率 算出，結果如下：
各種情況均以同樣的方法得出：（詳見附件壹）
年齡段（歲）
替代率
30-55
0.420231
30-60
0.548813
30-65
0.64476
40-55
0.257756
40-60
0.36862
40-65
0.429344
4.3 問題三
4.3.1 計算養老保險基金的缺口
假設某職工自2000年起從30歲開始繳養老保險，壹直繳費到退休（55歲,60歲，65歲），退休後壹直領取養老保險金，至75歲死亡。所謂缺口，是指當養老保險基金入不敷出時出現的收支之差。要想計算缺口情況，必須要計算養老保險基金出現的收支之差。
4.3.2 根據題目中的已知條件：
1）該企業職工退休前繳納的養老金由該企業按職工工資總額按壹定比例（20%）繳納到社會統籌基金賬戶，職工再按個人工資按壹定比例（8%）繳納到個人賬戶這兩部分組成。
2）該企業職工退休時的養老金由兩部分組成：
養老金=基礎養老金+個人賬戶養老金
個人賬戶養老金=個人賬戶儲存額÷計發月數（數據見表壹）
基礎養老金=（全省上年度在崗職工月平均工資+本人指數化月平均繳費工資）÷2×繳費年限×1%
本人指數化月平均繳費工資=全省上年度在崗職工月平均工資×本人平均繳費指數
4.3.3 計算該企業的職工在退休前需要繳納的養老保險基金。假設該職工55歲退休，75歲死亡，例如2000年平均工資為8772，則繳納到社會籌基金賬戶後所剩的個人工資為8772*（1-20%）=7017.600。
① 個人繳費為7017.600*8%=561.41
② 存入銀行的計息為561.41* =1141
則按照上述方法可分別算出2000-2024年的社會統籌基金賬戶後所剩的個人工資、個人繳費、存入銀行的計息如下圖：
通過軟件輸入編輯欄（利率統壹設定為3%）
可得2025年總***的社會統籌余額為SUM(C2:C26)*20%=160707
個人賬戶存儲余額為SUM(E3:F27)=119376.64
個人賬戶計息後存儲余額為SUM(E3:F27)=119376.64
基礎養老金為(C27/12+5236.565)/2*25*1%*12=14748.36
個人賬戶養老金為$H$28/170*12=8426.59（不變量）
根據以上表格編輯可得2025-2044年（2045年該職工75歲已死亡）的社會統籌余額、個人賬戶存儲余額、個人賬戶計息後存儲余額、基礎養老金、個人賬戶養老金
如下圖
1）從退休後壹直領取養老金，至75歲死亡，計算養老保險基金的缺口情況。根據題意缺口情況即是虧損情況，2025年後的虧損情況為每壹年的社會統籌基金賬戶余額與個人賬戶計息後存儲余額之和是否大於等於0，若小於0則已虧，反之則未虧。從上圖可知2025年至2037年是未虧，而2038年至2044年是已虧。
2）計算該職工領取養老金到多少歲時，其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間達到收支平衡。根據表格中所算出的結果繪制下圖即可知該職工領取養老金到多少歲時，其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間達到收支平衡
從上圖可知該職工領取養老金到73歲時，其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間達到收支平衡。
3）假設該職工60歲退休，75歲死亡
結合上述方法得下圖：
可得虧損情況（缺口情況）是2030年至2040年未虧，2042年至2044年已虧。
其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間是否達到收支平衡，可見下圖：
根據圖表可知該職工領取養老金到74歲時，其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間達到收支平衡。
4）假設該職工65歲退休，75歲死亡
綜合上述方法，可得缺口情況與收支平衡的年數 可見下表
可得虧損情況（缺口情況）是2035年至2044年全部為未虧。
其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間達到收支平衡。可見下圖：
根據圖表可知該職工領取養老金從退休到死亡全部為未虧，其繳存的養老保險基金與其領取的養老金之間不能達到收支平衡。
4.4 問題四
4.4.1 如果既要達到目標替代率58.5%，又要維持養老保險基金收支平衡， 根據我們所建立的模型數據，企業職工工資要達到目標替代率，又要維持養老保險基金收支平衡所面臨的問題有以下幾種：
各退休年齡段達到目標替代率的情況分析
30-55-75
20%低
8%低
低於目標替代率58.5%
30-60-75
20%低
8%平
接近目標替代率58.5%
30-65-75
20%高
8%高
高於目標58.5%
註：30-55-75即是30歲開始交養老保險金，55歲退休，75隨死亡，20%低即是企業把職工工資總額按壹定比例20%繳納到社會統籌基金賬戶較低，8%低即是職工個人工資按壹定比例8%繳納到個人賬戶較低，低於目標替代率是指30-55-75時的替代率低於按照國家對基本養老保險制度的總體思路，未來基本養老保險的目標替代率58.5%.
30-60-75系列和30-65-75系列則可參考30-60-75系列。
4.4.2 采取措施分析（1）
30-55-75系列：若要其接近替代率，則需提高20%和8%，且退休年齡要延遲才有可能接近替代率。
30-60-75系列：若要接近替代率，則需略微提高20%，此系列是比較接近替代率
30-65-75系列：若要接近替代率，則需降低20%及8%，且此系列退休年齡偏大，其繳費較多，而享受養老金待遇的時間較短，因此需要延長工作年齡。
年齡段（歲）
替代率
30-55
0.420231
30-60
0.548813
30-65
0.64476
40-55
0.257756
40-60
0.36862
40-65
0.429344
采取措施分析（2）
職工基本養老保險制度改革遇到的三大問題：
1）沒有相應的資金與職工基本養老保險賬戶金對應，職工基本養老保險個人賬戶只是記入了個人繳費和企業繳費按規定劃入個人賬戶的錢數，而這些錢已用於支付已退休人員的養老金，個人賬戶實際是虛的。因此做好職工基本養老保險個人賬戶金保值增值，對於達到目標替代率的目標有壹定的作用
2）按照現行個人賬戶儲存額，每年參考銀行統計存款利率計算利息的辦法保持增值潛在著既無法實現，個人賬戶金的保持增值已難以保證養老金替代率目標實現的雙重風險。
3）中國人口出生率的下降有勞動能力的人口逐步減少，人壽命的延長退休人員越來越多，社會養老保險越來越重，例如問題四中30-55-75系列的替代率較低於目標替代率58.5%，有壹部分原因歸結於退休年齡越早，而30-65-75系列的替代率超出目標替代率，有壹部原因是退休年齡過晚，可見中國老齡化風險對當前生化職工基本保險制度改革，帶來嚴峻挑戰。
由於保值增值率與平均工資增長率掛鉤，因此要想達到目標替代率我們可采用逆向思維和倒算法，采用替代率公式T=Y/J(1)
等比數列通項A = A (1+K) 等比數數列前n項和公式 =A *(R -1)/R-1
（T為養老金替代率，Y職工退休時的月養老金，J為職工退休時的月工資收入，A 為職工退休時月工資收入相當於其就業時月工資收入的倍數,A 為職工就業時的月工資收入 , K為預期平均工資增長率,N為職工平均勞動年限）
因此，我們先把個人賬戶金額面數按照大於模型中的社會職工平均工資增長率與個人賬戶保值增值率的比例來確定保值增值率，實現“虛擬增值”，以此作為職工退休時確定賬戶養老金的標準，從而是養老金“替代率”達到目標替代率的構想。二是個人賬戶金則按照國家規定的保值增值辦法實現真正意義上的保值增值，從而使養老保險基金提高運營效益。三是國家采取措施，頒布條例，是我國的養老保險金制度趨於完善。
五、模型的評價和改進
上述模型的優點主要體現在：建模過程中結合了我國的現階段國情和對未來的發展進行預測，應用概率論與數理統計、最小二乘法、線性回規以及計算機相關的知識，通過 MATLAB數學軟件，針對退休職工養老金制度改革的實際情況，並且研究了養老保險基金收支平衡的壹個重要因素是替代率，我們研究的替代率為42.9%，比較接近山東省的養老保險基金收支平衡。
這有助於我們建立模型；在模型的求解中為了更生動形象的闡述問題，針對復雜函數的計算運用MATLAB和Excel軟件有效的運算出點的具體位置並計算出最佳結果，使得我們求解的問題得到滿意的答案。
本文建立的模型少而且比較簡單，因此簡明扼要，作為學生接觸到養老保險基金方面的知識不多、知識面也有限，影響到我們在建立模型中還存在壹些不足，讓我們在三天內建立模型並求解，在時間上有些倉促，有些步驟沒有更加完善、沒有充足時間去深入思考，之後需繼續深入研究模型和對數據進行處理，添入更多有關影響養老保險基金的因素，建立更加復雜的模型，使得模型和數據更具可能行，對以後養老保險金的改革提供借鑒。
參考文獻
1 張珠寶.數學建模於數學實驗.北京:高等教育出版社 , 2005
2 馮潔等.數學建模原理與案例.北京：科學出版社，2007
3 姜啟源等. 數學模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003