2.根據等價關系對集合進行分類，將所有相互等價的集合歸入同壹範疇。這樣，每個集合都被歸入某個類別。任何集合A所屬的類稱為集合A的基數，記為|A|(或cardA)。這樣，當A和B屬於同壹類時，A和B的基數相同，即|A|=|B|。當A和B屬於不同的類時，它們的基數也是不同的。
3.如果單個元素集合的基數記為1，兩個元素的集合的基數記為2，以此類推，那麽任意有限集的基數都與通常意義上的自然數壹致。空集的基數也被記錄為0。所以有限集的基數也是傳統概念下的“數”。但是對於無限集合，傳統概念是沒有數的，根據基數概念，無限集合也是有基數的。例如，任何可數集合(也叫可數集合)都與自然數集合n具有相同的基數，即所有可數集合都是等基數集合。不僅如此，還可以證明實數集R的基數不同於可數集。所以集合的基數是數的概念的推廣。
4.基數可以在大小上比較。假設A和B的基數分別為A和β，即|A|=a和|B|=β。若A與B的子集等價，則稱A的基數不大於B，記為a≤β或β≥ A，若A小於等於β，但A不等於β(即A與B不相等)，則稱A的基數小於B的基數，記為A < β，或β>；答.在承認選擇公理的情況下，我們可以證明基數的消歧定理——任意兩個集合的基數可以比較，即不存在集合A和B，使得A不能等於B的任意子集，B不能等於A的任意子集..
5.基數可以操作。設|A|=a，|B|=β，定義a+β = | {(a，0):A∈A }∨{(B，1): b ∈ b} |。另外，A和β的乘積定義為|AxB|，A×B是A和B的笛卡爾積。
擴展數據
我們可以在基數上定義壹些算術運算，基數是自然數運算的推廣。給定集合？X和Y，定義x+y = {(x，0):X∈X }∨{(Y，1): y ∈ y}，則基數和為|X|+|Y| = |X+Y|。如果X和Y不相交，|X|+|Y| = |X ∪ Y|。基數乘積是| x ||| y | = | X × Y |，其中X × Y是X和Y的笛卡爾積，基數指數是| x || y | = | x y|，其中x y是從Y到X的所有函數的集合。
參考資料:
百度百科-基數