如果妳不學壹點拓撲學，妳可能不明白什麽是龐加萊猜想。
首先必須指出，上面引用的百度百科中的詞條把龐加萊猜想的內容寫錯了。“任何與N維球面同倫的N維閉流形必與N維球面同胚”是錯的(這是壹個不懂數學的人抄的文章，改了也是錯的)，甚至前面那句也是錯的；我找到的嚴格說法是:任何單連通閉可定向的三維流都同構於壹個三維球面，並將這個猜想推廣到每壹個單連通閉的n維流形。如果它有壹個N維球面的Betty數和撓系數S N，則它同構於S N，非3維的情況證明了很久，但主要是3維的情況。
龐加萊講的是三維流形的分類。
三維流形沒有現實直觀的幾何例子。比如上面提到的三維球體(註意不是三維實心球)，只能在四維空間畫。
為了做壹個直觀的類比，可以考慮壹個二維的情況。直觀來說，壹塊沒有孔的相連的皮革，總是可以充氣成球的，而且只能充氣成球的壹種形狀。這種無孔連通的蒙皮是二維單連通閉流形(直觀上圖總是可定向的，不可定向的情況我們忽略)。沒有洞意味著它不能像輪胎壹樣，也不能像氣球壹樣有洞可以吹。它可以鼓成壹個球，也就是說，無論皮革是方形的還是長形的，它都可以連續不斷地形成壹個球體。二維情況實際上是拓撲學中的壹個經典定理，即閉曲面分類定理的壹種分類。可見這個定理是壹個很基本的東西，就是曲面只有壹種形狀滿足最簡單的性質，就是球面。
壹維和三維相加就是龐加萊猜想。把二維皮膚變成三維“皮膚”，二維球面變成三維球面“曲面”，這就是龐加萊猜想。可見也是很基礎的，因為是低維圖形最簡單的分類問題。
龐加萊猜想研究的是低維圖形(可以在四維空間畫)。現代物理學中經常遇到這樣的空間，應該肯定龐加萊猜想有助於加深對物理學的理解。