P4:示例1資源分配問題。
某廠近期將安排生產兩種產品，產品A需要原料A，產品B需要原料B，由於兩種產品都在壹臺設備上生產，且設備的工作時間有限，管理者必須合理安排兩種產品的產量，以便在資源有限的情況下獲得最大利潤。所以這個問題的決策目標是利潤最大化。根據這壹目標，研究人員需要收集以下相關數據:
1)工廠兩種原材料的庫存和可用設備的工作時間。
2)產品A和產品B每單位產品所需的原材料和設備工時..
3)產品A和B的單位產品利潤..
這些數據可以通過調查或估算獲得，如表1.1所示。
A-B資源限制
原材料A 1 0 6
原材料B 0 2 8
設備2 3 18
單位利潤(百元)4 3
P5案例2成本效益平衡問題
某飼料公司想以玉米和紅薯為原料，配制壹種混合飼料。每種飼料的營養成分和采購成本都不壹樣。公司管理層希望確定混合飼料中各種原料的數量，使飼料以最低的成本達到壹定的營養要求。根據這個目標收集的相關數據如下(見表1.2)。
每公斤玉米每公斤甘薯對營養素的最低要求
碳水化合物8 4 20
蛋白質3 6 18
維生素1 5 16
采購成本(人民幣)0.8-0.5
P6例3物流網絡配送問題。
某物流公司需要將A、B、C三個工廠生產的壹個新產品運送到A、B兩個倉庫，兩個工廠的產品可以通過鐵路無限量運送到A；工廠C的產品可以通過鐵路運輸到B。同樣，產品數量也不限。由於鐵路運輸成本較高，公司也可以選擇獨立卡車運輸，這種卡車可以將A、B、C三個工廠最多80臺的產品運輸到壹個配送中心，然後從配送中心運輸到各個倉庫，最大載貨量為90臺。公司管理層希望以最低的成本交付所需的貨物。
為了建立這個問題的數學模型，首先要了解這個網絡配送問題的活動和要求，它涉及到三種產品的生產和每條線上產品的運輸。既然產量已經給定，那麽決策的重點就是運輸活動的水平，即通過每條線路的運輸量。首先要收集每條線上的單位運輸成本，各工廠的產品產量，各倉庫的分布情況，如表1.3所示。
目的地
起點配送中心倉庫A倉庫B運輸量
工廠A 3.0 7.5 100
工廠B 3.5 8.2 80
工廠C 3.4 9.2 70
配送中心2.3美元2.3美元
需求120 130 250
為了更清楚地解釋這個問題，我們用網絡圖來表示網絡分布問題(見圖1.1)。圖中，節點v1、v2、v3代表三個工廠，分別是A、B、C，節點v4代表壹個配送中心，節點v5、v6代表兩個倉庫；每個箭頭代表壹條可能的運輸路線，並給出了相應的運輸成本，同時也給出了運輸量有限的路線的最大運輸能力。
第壹章習題
6(P16)有人喜歡吃土豆和牛肉，決定午餐用這兩種食物。為了保證充足的營養和低廉的費用，他調查後收集的相關數據見表1.6。
人體對每壹餐的最低要求是每個單位所含的營養素。
牛肉和土豆
碳水化合物5 15 50
蛋白質15 4 36
Fat 10 3 30
單位成本15 3
(1)建立線性規劃模型，確定如何配餐滿足需求，成本最小。
(2)用圖解法求解線性規劃問題。
為了增加產品的市場份額，公司決定分別為A、B、C三種產品做廣告。廣告形式有兩種:電視廣告和印刷品廣告。管理科學團隊經過大量調查發現，A、B、C產品的廣告形式往往是分割的，每種產品需要增加的廣告單位成本和市場份額的最小金額如表1.8所示。
產品單位廣告市場份額增加所需的最低增加量。
電視印刷煤體
壹個1% 1.5% 5%
B 3% 2.5% 20%
1.5% 3% 4%
單位成本3萬元5萬元
公司管理層希望以最小的成本增加產品的市場份額，試圖建立子問題的線性規劃模型。
P17練習9某鋼廠在A1和A2兩個礦開采石料。開采的礦石將被輸送到兩個儲存裝置S1和S2，然後在必要時從儲存裝置輸送到鋼廠。圖1.7給出了這個配電網，並給出了各礦井的日產量、工廠的日需求量和各線路的最大日運輸能力。
管理層希望制定壹個運輸計劃，以最經濟的方式實現礦石通過配送網絡從礦山到工廠的運輸。
練習12
A公司需要確定其A、B兩種產品的生產能力，市場調研顯示，產品A每月可以購買400件，產品B每月可以購買100件。生產壹件產品需要8個工時，生產壹件產品B需要4個工時，產品A和B的單位利潤分別為48元和30元。這家公司的總工作時間是每月3000小時。如果產量不超過市場調查的最大數量，經銷商同意購買所有產品。嘗試建立壹個線性規劃模型來安排生產，使所獲得的案例最大化，並用圖解法求解。
第二章
P32農場灌溉問題案例。
某公司有四個農場，每個農場的耕地作物都需要用水灌溉。由於灌溉條件的限制，農場的最大水資源供應量是有限的。各農場總耕地面積和最大水資源供應量見圖2.1。這個地區適合種植的作物有棉花、玉米和高粱。三種作物每種的單位種植面積的純收入和耗水量以及每種作物的最大允許種植面積見表2.2。由於水資源短缺，公司必須統壹調配水資源。為了維護公平，規定每個農場的灌溉面積占農場總耕地面積的比例相同。公司管理層面臨的決策問題是如何確定每個農場種植作物的面積，使公司在滿足上述限制的條件下總收益最大化。
表2.1:
農田面積(畝)最大水資源供應量(噸)
1 4000 6000
2 6000 9000
3 5000 5500
4 4500 5000
表2.2:
農作物單位種植面積收入(元)單位面積用水量(噸)最大允許種植面積(畝)
棉花800 2 6000
玉米600 1.5 5500
高粱450 1 5000
(P33)例2證券投資。
1.證券投資者已投入證券投資65，438+00萬元。各種證券(A、B、C、D、E、F)的評級、到期日、年稅後收益已知，如表所示。
證券名稱、證券類型分類、到期年限、年稅後收益(%)
地方債券2 9 4.3
b基金2 12 4.4
c國債1 5 3.2
d國債1 4 3.0
e .地方債券
f基金5 4 4.5
管理層對本次投資提出如下要求:
(1)國債投資不低於300萬元。
(2)平均投資證券不得超過1.5。
(3)投資證券的平均期限不超過5年。
問:妳可以在每種證券上投資多少來實現稅後收益最大化？
(P36)例3操作員調度問題。
壹家尋呼公司雇傭了多名話務員，每天工作三個小時，每個時段從午夜開始，早上三點，早上六點，早上九點，中午十二點，下午三點，下午六點，九點。為了方便操作員上下班，管理層安排每個操作員每天連續工作三個時段。據調查，由於業務量不同，不同時間需要的話務員數量也不壹樣。
工作時間為0~3，3~6，6~9，9~12 ~ 15，18，18~21 ~ 0。
最低需求(人)8 6 15 20 25 23 18 10
工資(人民幣)26 30 28 22 20 22 24
如何安排電話接線員，保證服務人數，最大限度降低成本？
(P37)例4多階段生產調度問題。
南方機電制造公司為全國各地生產大型機電設備。根據公司的訂貨合同，有壹定數量的機電設備即將交貨，因此需要制定六個月的設備生產計劃。根據合同，公司必須在接下來的六個月中的每個月月底交付壹定數量的機電設備。由於原材料價格、生產條件、保修和維修工作的安排不同，每月的生產能力和生產成本也不同。當然，成本較低的月份可以生產更多的設備，但在提供給客戶之前必須進行存儲，需要壹定的存儲費用。管理層需要制定月度生產計劃，使生產和儲存的總成本最小化。管理科學團隊通過調查，收集了單位生產成本、單位月存儲成本、月需求量、最大生產能力等數據(見表2.7)。
表2.7
月(壹)月末需求di(臺)最大生產能力li(臺)單位生產成本ci(臺)單位倉儲成本hi(千元)最大倉儲fi(臺)
1 10 20 2.1 0.2 10
2 16 30 2.0 0.25 12
3 20 26 2.3 0.23 6
4 14 28 2.4 0.24 10
5 25 30 2.1 0.2 8
6 23 30 2.6 0.2 0
(P40)實施例5營養成分。
某食品公司考慮用西紅柿、菠菜、梨、洋蔥、土豆、大豆、蘿蔔、胡蘿蔔等食物來配餐，並要求準備的食物要達到壹定的維生素含量(這裏只考慮VA、VB、VC三種維生素)。餐飲中各種食物的維生素含量和單位成本數據見表2.8。
表2.8
番茄、菠菜、梨、洋蔥、土豆、大豆、蘿蔔和胡蘿蔔的營養需求
VA 8 8 6 4 7 4 5 2 70
VB 2 5 4 5 1 1 2 1 60
VC 1 2 1 3 3 2 1 4 30
價格7 5 4 5 5 6 8 5
公司管理層希望以最低的成本準備滿足維生素需求的食品。
第二章練習
P(42) 1。壹家公司生產了壹種新合金，由40%的鋁、30%的鐵和30%的銅組成。這些原材料是從其他可用的合金中獲得的。這些合金的成本和單位成本見表2.9。表2.9
成分(%)合金
1 2 3 4 5 6
鋁60 25 30 40 30 40
鐵20 35 20 25 40 50
銅20 40 50 35 30 10
單位成本(人民幣)100 80 75 85 94 95
公司希望確定各種原材料合金的比例，以最低的生產成本制造新的合金。
(1)在電子表格上建立線性規劃模型並求解。
(2)寫出這個問題的線性規劃模型的代數形式。
第六章運輸問題
示例1(p 128)a 1和A2生產的煤炭被運輸到B1、B2和B3銷售。各煤礦供應量、各城市需求量、煤礦與城市間單位運費見表6.1。試列出其數學規劃模型。
表6.1
B1 B2 B3供應(噸)
A1
主動脈第二聲
需求(噸)90
80
100 70
65
150 95
75
180 200
230
壹些應用程序
某汽車發動機廠計劃在未來四個月內生產壹批發動機，以滿足汽車安裝的需要。為了給出最優的進度和最小化總成本，相關人員收集數據，如表6.8所示。
每個月生產壹定數量的發動機，沒有安裝的入庫。加班的單位生產成本高於正常時間的生產成本。這樣，成本就由生產成本和庫存成本構成。試著找到這個問題的最佳時間表，也就是總成本最小。
表6.8
月計劃安裝最大產量單位生產成本(元)單位庫存成本(元)
正常時間加班時間正常時間加班時間
1
2
三
4 15
20
10
25 25
20
15
10 10
10
五
15 4800
5100
5000
5300 5000
5200
5100
5500 150
150
150
——
例8(P144)某市計劃開辦第三小學，需要為全市所有小學重新劃定服務區域。全市大致分為六個城區，各城區小學生人數及到各小學的大致距離見表6.10。學校招生可根據具體情況在壹定範圍內變動。劃分服務區域的目標是使學生到學校的平均距離最短。努力尋找最優的規劃方案。
表6.10
離學校的距離(公裏)
1 2 3
1
2
三
四
五
6 1.1
1.2
1.3
0.5
2.2
1.6 1
0.7
2
1.9
0.8
1.3 1.6
1.8
1.4
0.6
2.6
1.5 400
300
350
300
名流
350
最低入學人數600 700 300
最大註冊人數為900 1000 700。
第八章整數規劃
示例1 (P163)鉆石切割問題
壹家寶石加工廠最近收到了6顆大小和質量等級相似的毛坯鉆石。管理有兩種選擇:壹種是切割打磨成壹般的皇冠形狀，每顆鉆石能賺兩千五；第壹，雖然很難切磨，但目前在市場上很受歡迎，每粒可獲利四千元。如果切成心形，每粒需要9個工作日。因為工廠裁剪機比較忙，最多只能把4個毛粒剪成皇冠形狀，6個毛粒中的任意壹個都可以剪成心形。那麽，管理層應該如何決策才能讓這些鉆石的利潤最大化呢？
例2 (P180)分支機構選址問題。
某銷售公司打算通過在武漢或長春建立分工(可能兩個城市都有分公司)來增加市場份額。同時，管理層還計劃在新設立分公司的城市最多建設壹個配送中心。當然，不壹定要建配送中心。經過計算，每個期權對公司收益的凈值列於表8.6的第四列和第五列，並記錄每個期權所需的成本。超市總預測費用不超過20萬元。目標是在上述約束條件下最大化總凈現值。
表8.6
決策編號問題的決策變量的凈現值(萬元)，以及所需資金(萬元)
1
2
三
4是否在長春設立分公司？
是否在武漢設立分公司？
是否在長春建配送中心？
是否在武漢建配送中心？X1
X2
X3
X4 18
10
12
8 12
六
10
四
例3 (P183)從N個約束中選擇K個約束的問題
某公司因為資金和管理水平的限制，想以相同的價格和不同的租期(工時)租用另壹家公司A、B、C、D的四個車間中的兩個，最多生產五種新開發產品中的三種(命名為A、B、C、D、E)。每個產品在生產過程中分為生產難度相近的兩個階段(對於每個車間來說，生產的任何壹個階段所用的工時都是壹樣的)，需要在不同的車間進行生產，所以壹個產品需要兩個車間的配合才能完成。由於兩個車間的機床和工人經驗不同，生產不同產品的效率也不同，導致不同車間不同產品(任何階段)的工作時間不同(根據生產部門的初步測試和經驗判斷，估算數據見表8.7)。此外，根據公司市場部的預測，各產品的單位利潤、租賃期內的最大銷售量以及租賃期內各車間的總工作時間也列於表8.7。
表8.7
單位產品的生產時間(階段)(小時)租賃期內的總工作時間(小時)
產品a，產品b，產品c，產品d和產品e。
車間
第壹
第二
十天幹的第三/第三
丁5
七
四
3 8
11
九
7 4
三
三
5 9
10
八
9 7
七
六
5 180
230
170
165
單位利潤(百元)
最大銷量(件)11
21 14
25 8
23 15
15 9
18
車間管理層應該如何選擇車間和產品，使租賃期內利潤最大化？
例4 (P189)有n個可能值的固定成本問題和約束問題。
某廠最近接到壹批訂單，安排生產A、B、C、d四種產品，每種產品分別需要A、B、C壹個或幾個單位的原料。合同規定十五天內完成，但數量不限。因為四種產品都是在壹臺設備上生產的，而生產設備同時只能加工壹種產品。目前廠裏只有壹臺這樣的設備在用(暫稱為設備1)。在合同期內，可以擠出三天生產這批訂單，但機會成本損失將為150元。還有壹件設備(設備2)很久沒用了。使用時需要檢查維修，費用為1，000元。該公司還考慮從鄰近工廠租賃兩臺這樣的設備(設備3和設備4)。由於對方也是整體使用設備，租期只能分別為7天和12天，租期正好在合同期限內，租金分別為2000元和3100元。工廠可以決定租壹兩個，也可以不租壹個。另外，每生產壹種產品，都會有固定成本和可變成本。這些數據連同每種產品所需原材料的種類或數量、各種原材料的可用量、制造每種產品所需的工時數以及每種產品的單價都是已知的(見表8.8)。假設每天工作時間為8小時(即四個設備的可用機時分別為24、120、56、96)，假設工廠最多使用這四個設備中的3個。
表8.8
產品資源限制
三元乙丙橡膠設備1設備2設備3設備4
原材料a
原材料b
原料C 4
2
3 6
8 9
四
0 0
1
5 156
94
183
設備工作時間(小時)5 7 3 8 24 120 56 96
固定成本(人民幣)350 400 180 310 150 1000 2000 3100
可變成本(人民幣)12 14 16 11————————————————————————————
產品單價(人民幣)120 160 135 95-
問:在上述資源約束條件下，壹個工廠如何安排這四種產品的產量，使用哪種設備使利潤最大化？
例5(P193)市場總監的安排
D公司準備派壹個營銷總監去華中，華南，華北，東北。目前有四個候選人，分別是張、王、李和趙，因為他們熟悉每個地區不同的文化、市場和媒體(詳細數據見表8.9)。問:如何將這四位總監安排在各大區域，使整體預期收益最大化？
表8.9(單位:100元)
1 2 3 4
華中、華南、華北和東北
1
2
三
四張
國王
李子
趙12
八
六
4 7
10
五
4 11
八
六
9 10
九
12
八
例6 (P195)營銷總監安排的變形問題。
如果例5中D公司的四個營銷總監的月薪分別為2.5、2.1、1.8、1.6萬元，如果D公司想把經營範圍擴大到西北和西南，現在公司想在六個區設立銷售分公司，考慮到張先生業務最精，最多能負責三個區的建設，王先生業務更精，最多能負責。為了避免多個領導，每個地區只派壹個營銷總監去集資。表8.10是每個營銷總監在不同地區設立分公司的預計時間(單位:月)。問:如何指派營銷總監在各區建設銷售分公司，使工資總成本最小化？
表8.10
準備時間(月)和月薪(萬元)
1華中2華南3華北4東北5西北6西南
營地
賣
總數
監獄1
2王
3裏
4趙3
3.5
四
5 4
四
5.5
6 3.5
三
五
7 6
八
六
5 4
六
四
5 8
七
九
7.5 2.5
2.1
1.8
1.6