馬爾可夫鏈模型，滬深300指數日收益率概率分布的平穩分布
1簡介
滬深300指數於2005年4月正式發布。其成份股是市場代表性好、流動性高、交易活躍的主流投資股票，能夠反映市場主流投資的收益。許多證券投資基金以滬深300指數作為業績比較基準，因此研究滬深300指數的收益顯得尤為重要，可以為投資管理提供參考。
以滬深300指數交易日的收盤價來計算日收益率，日收益率可以按照區間劃分為不同的狀態，日收益率的時間序列可以看作是狀態的變化序列，可以嘗試用馬爾可夫鏈模型來處理。馬爾可夫鏈模型在證券市場中的應用已經取得了很多成果。參考文獻[1]，[2]，[3]，[4]大同小異，都是基於上證指數的日收盤價，按照漲、平、跌的狀態，取得了壹定的效果。但只取40 ~ 45個交易日進行分析，歷史數據太少，狀態劃分粗糙。參考文獻[5]和[6]以上證指數的周價格為對象，考察指數定義區間(狀態)的概率。但狀態少(分別只有6和5個狀態)，區間跨度大，結果的實際參考價值有限。參考文獻[7]在根據股價對單只股票的狀態進行分類方面也取得了壹定的成果。
然而，回報率是證券市場中更多研究的對象。本文對滬深300指數的日收益率進行了深入的研究，利用matlab7.1作為計算工具，處理了更多的狀態和歷史數據，得到了滬深300指數日收益率的概率分布，並對日收益率的變化進行了預測。
2馬爾可夫鏈模型方法
2.1馬爾可夫鏈的定義
有壹個隨機過程{Xt，t∈T}，其中T為離散時間集，即t = {0，1，2，L}，其對應Xt的所有可能值的狀態空間為離散狀態集I={i0，i1，i2，l}。對於任意整數T ∈。馬爾可夫鏈的馬爾可夫性的數學表達式如下:
P{Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，L，Xn = in } = P { Xn+1 = in+1 | Xn = in }(1)
2.2系統狀態概率矩陣估計
馬爾可夫鏈模型方法的基本內容之壹是系統狀態轉移概率矩陣的估計。估計系統狀態的概率傳遞矩陣壹般有兩種方法:主觀概率法和統計估計法。主觀概率法壹般在沒有歷史統計數據或數據不完整的情況下使用。本文采用統計估計的方法，主要過程如下:假設系統有M個狀態S1，S2，L，s M，根據系統狀態轉移的歷史記錄，可以得到表1的統計表。其中，nij表示在調查的歷史數據範圍內，系統從狀態I轉移到狀態j的次數,■ij表示系統從狀態I轉移到狀態j的轉移概率的估計量，則■ij的估計值和狀態的轉移概率矩陣p從表1的歷史統計數據中獲得，如下所示:
■ij=nij■nik，P = P 11K P 1mm O MPM 1 L PMN(2)
2.3馬哈拉諾比斯檢驗
隨機過程{Xt，t∈T}是否為馬爾可夫鏈的關鍵是檢驗其馬爾可夫性，可以用χ2統計量來檢驗。步驟如下:(nij)將m× m的第j列之和除以行與列之和得到的值標記為■。j，即:
■.j=■nij■■nik，和■ij=nij■nik(3)
當m較大時，統計量服從自由度為(m-1)2的χ2分布。選取置信度α，查表得到χ2α((m-1)2)，if■2 >；χ2α((m-1)2)，則{Xt，t∈T}可以認為是馬爾可夫鏈，否則不認為是馬爾可夫鏈。
■2=2■■nijlog■ij■。j(4)
2.4馬爾可夫鏈的性質
定義了狀態空間和狀態的轉移概率矩陣p，構造了馬爾可夫鏈模型。設Pt(0)為初始概率向量，PT(n)為馬氏鏈時刻的絕對概率向量，P(n)為馬氏鏈的n步轉移概率矩陣，則得到如下定理:
P(n)=PnPT(n)=PT(0)P(n)(5)
馬氏鏈的狀態可以在狀態空間中進行分類和分解，從而研究馬氏鏈模型的不可約閉集、周期性和遍歷性。馬氏鏈的平穩分布是定理不可約的，非周期馬氏鏈正常回歸的充要條件是平穩分布的存在；有限狀態的不可約非周期馬氏鏈壹定有平穩過程。
馬爾可夫鏈模型方法的應用
3.1觀測描述和狀態劃分
取滬深300指數2005年10月4日至2007年4月20日65438+555個交易日的收盤價計算日收益率(不含分紅)，將日收益率乘以100記為Ri，仍稱為日收益率。計算公式為:
ri =(Pi-Pi-1)×100/Pi-1(6)
其中Pi是每日收盤價。
滬深300指數運行平穩，日收益率在歷史數據區間[-4.5，4.5]為98.38%。這個區間可以按照0.5的區間劃分為18個區間，小於-4.5和大於4.5的記錄為1個區間，* * *得到20個區間。按照日收益率的區間劃分成各種狀態空間，可以得到20種狀態(見表2)。
3.2馬哈拉諾比斯試驗
χ2統計量用於檢驗隨機過程{Xt，t∈T}是否具有馬爾可夫性。頻率矩陣(NIJ) nij)20×20。
從方程(3)和(4)可以得到:■j=■nij■■nik，並且■ij=nij■nik，■ 2 = 2 ■■■■ nijlog ■ ij ■。j = 446.96，設自由度為k = (m-1)。由於k & gt45，χ2α(k)不能通過查表直接得到。當k足夠大時，有:
χ2α(k)≈■(zα+■)2(7)
其中zα是標準正態分布的上α分位數。查表z0.01=2.325，所以可以從(1)和(7)得到，即統計學上，隨機過程{Xt，t∈T}符合馬爾可夫性質，得到的模型是馬爾可夫鏈模型。
3.3計算轉移概率矩陣和狀態壹步轉移。
根據頻率矩陣(nij)20×20和公式(1)和(2)，轉移概率矩陣是P=(Pij)20×20。考察2007年4月20日的分時交易數據(9: 30 ~ 15: 30 * * 241數據)，根據上述狀態劃分法，分時交易數據的收益率歸屬於每個狀態，Ci為屬於狀態I的數，初始概率向量PT(0)=(p1，p2。
pj=Cj/241，j=1，2，K，20(8)
下壹交易日日收益率的分布概率為PT(0)={p1(1)，p2(1)，L，pi(1)，L，p20(1)}，還有Pt (1)。
3.4馬氏鏈的遍歷性和平穩分布
我們可以分析馬氏鏈的不可約集和周期性，從而進壹步考察其平穩分布。然而，它的分析和求解是非常復雜的。本文用matlab7.1通過以下算法求解:對壹步轉移概率矩陣P求冪，當Pn+1=Pn停止時，若n >；5 000也停止運算，返回Pn和n，發現n=48時穩定，即P(∞)=P(48)=P48。通過對矩陣P(48)的研究，很容易知道所有行的數據都是相等的，不存在數值為0的行和列，任意壹行的行和都是1。所以馬氏鏈{Xt，t∈T}只有壹個不可約集，它是遍歷的，具有平穩分布{πj，j∈I}，平穩分布是P(48)的任意壹條線。從上面的計算分析，我們也可以知道，馬爾可夫鏈是不可約的，非周期的，具有穩定的分布。計算出的平穩分布如表4所示。
3.5計算結果分析
表3和表4給出了日收益率統計的初始概率向量PT(0)，壹步狀態預測得到的絕對概率向量PT(1)和日收益率的穩定分布，結合表3和表4可以得到圖形1。可以看出，雖然當日(2007年4月20日)的收益率在(1.5，4.5)的區間內波動，且(2.5，4.5)內的概率達到0.7261，說明當日收益率高於2007年4月20日(實際收盤價為4.46544)。這是顯而易見的，因為日收益率是隨機波動的。
對於下壹個交易日的收益率預測(PT(1))，發現下壹個交易日收益率小於0的概率為0.4729，下壹個交易日收益率大於0的概率為0.5271，即下壹個交易日收益率大於0的概率比較高，其中在區間(-2，-1.5)，(0.5，655)。1.5)的概率分別為0.2675，0.161和0.1091，這也說明下壹交易日收益率的概率為(-2，-1.5)，存在壹定的風險。
從日收益率的長期情況(穩定分布)來看，其分布類似正態分布但具有正偏度，說明其具有很大的投資潛力。日收益率概率為0.4107，日收益率概率為0.5893。日收益率的概率遠遠高於日收益率的概率。
4結論
馬爾可夫鏈模型方法可以根據壹個交易日的收益率來預測下壹個交易日，得到其長期日收益率的概率分布，定量描述日收益率。通過對滬深300指數日收益率的分析計算，得出了滬深300指數日收益率的概率分布，發現滬深300指數日收益率的概率比較大(長期達到0.5893，如果考慮分紅，這個概率會增大)，長期看好滬深300指數。如果用滬深300指數構建指數基金，然後進行調整，有望獲得較好的收益。
作者也用了range (-5，5)，狀態間的間隔是1和range (-6，6)，狀態間的間隔是2，結果也差不多。在較大範圍內操作時(如-10、10等。)和不同的區間大小，發現如果狀態劃分過多，得到的模型不容易通過Mahalanobis檢驗。如何更合理的劃分狀態使結果更準確是下壹步研究的方向之壹。在後續工作中，利用人工神經網絡來考察日收益率預測值與實際日收益率之間的關系也是壹個重要的研究內容。馬爾可夫鏈模型方法也可用於上證指數和深證指數的類似分析。
參考
1官麗娟，趙明。用馬爾可夫鏈模型預測上證指數[J].山東行政學院學報，山東經濟管理學院，2005(4)
2陳。基於馬爾可夫鏈模型的中國股票指數研究[J].購物中心的現代化(學術討論)，2005(2)
3蕭，陸。基於馬爾可夫鏈系統的上證指數探討[J].科技創業月刊，2005(9)
4卞、張傑。用馬爾可夫鏈模型預測上證指數[J].統計與決策，2004(6)
5侯永健，周浩人。證券市場的隨機過程預測[J].商業研究，2003(2)
6王鑫磊。股票指數標記性的檢驗與預測[J].統計與決策，2005年(8)
7廖琴張玉珊。馬爾可夫鏈在股票市場分析中的壹些應用[J].華南理工大學學報(自然科學版)，2003(7)
8馮文權。經濟預測與決策技術[M]。武漢:武漢大學出版社，2002
9劉。隨機過程[M]。武漢:華中科技大學出版社，2001
10是壹次偉大的聚會。概率論與數理統計[M]。北京:高等教育出版社。