問題壹
1.無獎金，時期1收入300元，時期2收入625元
步驟壹：建立自變量和因變量的函數
時期1消費x和時期2消費y的關系為y=625+（300-x）*0.25=-0.25x+700，時期1消費x的取值範圍為0≤x≤300，
效用函數u=（x^0.8）*（y^0.2）=（x^0.8）*[(-0.25x+700)^0.2],
則效用u對時期1消費x的導數為0.8（x^-0.2）*[(-0.25x+700)^0.2]+0.2*(-0.25)*[(-0.25x+700)^-0.8]*（x^0.8）=0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+700)^-0.8]*(-5x+11200),
因為0≤x≤300，所以9700≤-5x+11200≤11200，
又因為0≤0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+700)^-0.8]，
所以u對x的導數在x的可取範圍內恒大於零，所以u隨x的增大而增大，
所以當x=300時，max（u）=u1（根據題目設問，無需計算u1的具體數值）
2.獎金，時期1收入300元，時期2收入1250元步驟壹：建立自變量和因變量的函數
x和y的關系為y=1250+（300-x）*0.25=-0.25x+1325，x的取值範圍為0≤x≤300，
效用函數u=（x^0.8）*（y^0.2）=（x^0.8）*[(-0.25x+1325)^0.2]，
則u對x的導數為0.8（x^-0.2）*[(-0.25x+1325)^0.2]+0.2*(-0.25)* [(-0.25x+1325)^-0.8]*（x^0.8）=0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+1325)^-0.8]*(-5x+21200),
因為0≤x≤300，所以19700≤-5x+21200≤21200，
又因為0≤0.05*（x^-0.2）*[(-0.25x+1325)^-0.8]，
所以u對x的導數在x的可取範圍內恒大於零，所以u隨x的增大而增大，
所以當x=300時，max（u）=u2（根據題目設問，無需計算u2的具體數值）
3.綜上，獎金有否，對時期1的消費量不構成影響。
4.補充，其實根據效用函數u=（x^0.8）*（y^0.2），可知，x=y時，u對x的偏導數大於u對y的偏導數，
也就是說當兩個時期的消費相同時，時期1的消費比時期2的消費對效用值的邊際貢獻更大，即增加1單位x時u的增加量比增加1單位y時要大，
而當x<y時（如本題題幹所設，x最多可消費300，y最少消費625），更是如此，因而，當利率很小，投資增值效應幾乎可以忽略不計時，應當把時期1的收入都在時期1消費，
而時期2的獎金只會更加加劇這種趨勢而已。
問題二
建立酒的凈現值函數:
令i為儲藏酒的年限（當期i=0），即儲藏酒到第i年賣掉，又令P為當期購買酒的價格（為未知常數）,
酒在第i年的價值為20x+40，其現值為(20x+40)/[(1+0.1)^i]，
則凈現值為NPV=(20x+40)/[(1+0.1) ^i]-P，
NPV對i求導數，為20*(1.1^-i)-20ln1.1*(i+2)*(1.1^-i)=20*1.1^-i*[1-ln1.1*(i+2)]
令導數為零，知i0=8.49，易知i<8.49時，導數為正，NPV隨i的增大而增大，i>8.49時，導數為負，NV隨i的增大而減小，
所以i=8/9時，max(NPV)，經計算知NPV(i=8)=93.3-P，NPV(i=9)=93.3-P，即max(NPV)= 93.3-P，
成功的投資，需要NPV>0，即93.3-P≥0，即P≤93.3