傅裏葉級數
傅裏葉級數
壹種特殊的三角級數。法國數學家J.-B.-J .傅立葉在研究偏微分方程邊值問題時提出的。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在國內，程敏德首先系統地研究了多元三角級數和多元傅立葉級數。他首先證明了多元三角級數球和的唯壹性定理，揭示了多元傅裏葉級數Riess-Bochner球平均的許多特征。傅立葉級數極大地促進了偏微分方程理論的發展。它在數學、物理和工程中有重要的應用。
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傅立葉級數公式
給定壹個周期為t的函數x(t)，它可以表示為壹個無窮級數:
& lt數學& gtx(t)= \總和_{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi})t}<；/math & gt；(J是虛數單位)(1)
其中，
& lt數學& gta _ k = \ frac \ int _ x(t)\ cdot e^{-jk(\frac{2\pi})t}<；/math & gt；(2)
註意到
傅立葉級數的收斂性
傅立葉級數的收斂性:滿足狄利克雷條件的周期函數表示的傅立葉級數都是收斂的。Dilihri條件如下:
X(t)在任壹周期內必是絕對可積的；
在任壹有限區間內，x(t)只能取有限個極大值或極小值；
在任壹有限區間內，x(t)只能有有限個第壹類不連續點。
吉布斯現象:在x(t)的不可微點上，如果只取(1)右邊無窮級數中的有限項作為X(t)的和，那麽X(t)在這些點上會有波動。壹個簡單的例子是方波信號。
三角函數族的正交性
所謂兩個不同向量的正交性，是指它們的內積為0，也就是說兩個向量之間沒有相關性。例如，在三維歐幾裏得空間中，相互垂直的向量是正交的。其實正交是數學中對垂直性的抽象和概括。壹組n個相互正交的向量壹定是線性無關的，所以它壹定是壹個n維空間，即空間中的任意向量都可以用它們來線性表示。三角函數族的正交性用公式表示:
& lt數學& gt\int _^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \，dx = 0；& lt/math & gt；
& lt數學& gt\int _^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \，dx = 0；(m \ ne n)& lt；/math & gt；
& lt數學& gt\int _^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \，dx = 0；(m \ ne n)& lt；/math & gt；
& lt數學& gt\int _^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \，dx = \ pi& lt/math & gt；
& lt數學& gt\int _^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \，dx = \ pi& lt/math & gt；
奇數函數和偶數函數
奇數函數< math >f _ o(x)& lt；/math & gt；可以表示為正弦級數，甚至函數
& lt數學& gtf _ o(x)= \ sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \ sin(kx)；& lt/math & gt；
& lt數學& gtf _ e(x)= \ frac+\ sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx)；& lt/math & gt；只需註意歐拉公式:
廣義傅立葉級數
任何正交函數系統
& lt數學& gt\ int _^f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^_<；/math & gt；(4),
然後是連續劇
& lt數學& gtc _ n = \ int _^f(x)\phi_n(x)\,dx<；/math & gt；(6)。
事實上，不管(5)是否收斂，我們總是有:
& lt數學& gt\ int _^f^2(x)\,dx \ ge \ sum _{k=1}^{\infty}c^_<；/math & gt；這就是所謂的貝塞爾不等式。此外，公式(6)很容易從正交性推導出來，因為對於任何單位正交基