設α = (A1，A2，A3)，β = (B1，B2，B3) ∈ U和任意λ，μ ∈ R
然後是
λα+μβ=(λa1+μb1，λa2+μb2，λa3+μb3)
因為a2=a1+a3，b2=b1+b3。
所以λA2+μB2 =λ(a 1+A3)+μ(b 1+B3)=(λa 1+μb 1)+(λA3+μB3)。
所以λ α+μ β ∈ U .所以U是R 3的子空間。
擴展數據
子空間的應用
設v為非空集，p為定義域。如果:
1，在V中定義了壹個運算，稱為加法，即V中任意兩個元素α和β按照壹定的規律對應V中唯壹確定的元素α+β，稱為α和β之和。
2.在P和V的元素之間定義了壹個運算，叫做標量乘法(也叫數量乘法)，即V中的任意元素α和P中的任意元素K按照壹定的規律對應V中的壹個唯壹確定的元素kα，稱為K和α的乘積。
3.加法和標量乘法滿足以下條件:
(1)α+β=β+α，對於任何α，β∈V .
(2)α+(β+γ)=(α+β)+γ，對於任何α，β，γ∈V .
(3)有壹個元素0∈V，對所有α∈V都有α+0=α，元素0稱為V的零元素.
(4)對任意α∈V，有壹個負元素β∈V使α+β=0，β稱為α，記為-α。
(5)對於P中的單位元1，有1α=α(α∈V)。
(6)對任意k，l∈P，α∈V，有(kl)α=k(lα)。
(7)對任意k，l∈P，α∈V，有(k+l)α=kα+lα。
(8)對任意k∈P，α，β∈V，有k(α+β)=kα+kβ，
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