例如，下面是壹系列2a-周期函數。
F(x+a)=-f(x)，所以如果f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x)，就會分解成f(x)=f(x+2a)的形式。關鍵是用整體思路去代入。
函數周期性的定義:如果有壹個常數T，f(x)=f(x+T)在定義域內對任意x為常數，則f(x)稱為周期函數，T稱為這個函數的壹個周期。
擴展數據:
功能的關鍵詞是“定期重復”。當自變量增加到任意實數時(自變量是有意義的)，函數值有規律地反復出現。
若函數f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T)，則稱T是函數的壹個周期。t的整數倍也是函數的周期。
展示函數周期性的定義:對於函數y=f(x)，如果存在壹個非零常數T，使得x取定義域內任意值時f(x+T)=f(x)成立，則函數y=f(x)稱為周期函數，非零常數T稱為該函數的周期。
當自變量增加壹定值時，函數值有規律地出現。
2.定義:對於函數y=f(x)，如果有壹個非零常數T，當x取定義域中的每壹個值時，f(x+T)=f(x)。
概念的具體化:
當定義中f(x)=sinx或cosx時，考慮t的值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函數和余弦函數都是周期函數，周期為T=2kπ(k∈Z，k≠0)。
顯示正弦和余弦函數的圖片。
周期函數的圖像形狀隨x的變化呈周期性變化，(用課件講解。)
強調“當x取定義域中的每壹個值”的定義
設(x+T)2=x2，那麽x2+2xT+T2=x2。
所以2xT+T2=0，也就是T(2x+T)=0。
所以T=0或者T=-2x。
在定義中強調“非零”和“常數”。
例如:三角函數sin(x+T)=sinx
cosx中的Cos (x+t) = t取2π。
3、最小正周期的概念:
對於壹個函數f(x)，如果它的所有周期都有壹個最小正數，那麽這個最小正數叫做f(x)的最小正周期。
對於正弦函數y=sinx，只要自變量x至少增加到x+2π，就可以反復得到函數值。所以正弦函數和余弦函數的最小正周期是2π。(註:除特別註明外，周期指最小正周期。)
在函數圖像上，最小正周期是函數圖像重復出現所需的最短距離。
參考資料:
百度百科-函數周期性