據考證，人類知道這個定理至少有4000年了！也記載了這個定理全世界有300多個證明！
勾股定理是幾何中的壹顆明珠，所以充滿魅力。千百年來，人們壹直渴望證明它，包括著名數學家、業余數學家、普通人、尊貴的達官貴人甚至國家總統。也許正是因為勾股定理的重要、簡單和吸引人，才被反復炒作和論證了幾百次。1940年出版了壹本勾股定理的證明相冊，裏面收集了367種不同的證明方法。事實上，還不止這些。有資料表明，勾股定理的證明方法有500多種，僅清末數學家華就提供了20多種精彩的證明方法。這是任何定理都無法比擬的。
勾股定理的證明:在這幾百種證明方法中，有的非常精彩，有的非常簡潔，有的因為特殊的身份而非常出名。
首先介紹了勾股定理最精彩的兩個證明，據說分別來自中國和希臘。
1.中國法:畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中A和B為直角邊，C為斜邊。這兩個正方形全等，所以面積相等。
左圖和右圖各有四個與原直角三角形相同的三角形，左右三角形的面積之和必須相等。如果左圖和右圖中的四個三角形都被刪除，則該圖剩余部分的面積將相等。左圖還剩兩個方塊，分別以A和B為邊。右邊是壹個以C為邊的正方形。因此
a^2+b^2=c^2。
這是我們幾何課本上介紹的方法。直觀簡單，誰都看得懂。
2.希臘方法:直接在壹個直角三角形的三條邊上畫正方形，如圖。
很容易看出，
△ABA’?△AA’c .
畫壹條穿過C到a' b '的垂直線，在C '處與AB交叉，在C '處與A' b '交叉。
△ABA′和正方形ACDA′′的底高相同，前者是後者面積的壹半，△AA′″C和矩形AA′″C″的底高相同，前者是後者面積的壹半。從△ABA '?△AA ' ' C可知，正方形ACDA '的面積等於長方形AA''C''C '的面積。同理，正方形BB'EC的面積等於長方形b'' BC'' C ' '的面積。
因此，S平方AA''B''B=S平方ACDA'+S平方BB'EC，
也就是a2+b2=c2。
至於三角形面積是同底同高的矩形面積的壹半，可以用挖填法得出(請自行證明)。這裏只用到了簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這是古希臘數學家歐幾裏得在《幾何原本》中的證明。
上面兩種證明方法很奇妙，因為它們用的定理很少，而且只用到了面積的兩個基本概念:
(1)同余的面積相等；
⑵將壹個圖形分成若幹部分，每壹部分的面積之和等於原圖形的面積。
這是壹個任何人都能理解的完全可以接受的簡單概念。
中國歷代數學家論證勾股定理的方法很多，對於勾股定理的圖解也很多，其中趙雙(即趙)在他的論文《勾股方圖解》中證明了勾股定理，該論文附於《周髀算經》。使用挖填法:
如圖所示，圖中的四個直角三角形用朱砂塗色，中間的小正方形用黃色塗色，稱為中間黃色實心，以弦為邊的正方形稱為弦實心。然後，經過東拼西湊和匹配，他肯定了勾股和弦的關系符合勾股定理。即“畢達哥拉斯股互乘，且為弦實，方除，即弦也。”
趙爽的勾股定理證明，說明中國數學家有高超的證明問題的思想，簡潔直觀。
西方許多學者研究了畢達哥拉斯定理，給出了許多證明方法，其中畢達哥拉斯給出了有文字記載的最早證明。據說他證明勾股定理的時候欣喜若狂，殺了壹百頭牛慶祝。因此，西方國家也稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從得知他的證明方法。
以下是美國第二十任總統加菲爾德對勾股定理的證明。
如圖所示，
s梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)，①
和S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED。
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2).②
比較以上兩個公式，我們可以得到
a2+b2=c2 .
這個證明因為使用了梯形面積公式和三角形面積公式，所以相當簡潔。
4月1876日，加菲爾德在《新英格蘭教育雜誌》上發表了他對勾股定理的證明。五年後，加菲爾德成為美國第二十任總統。後來，為了紀念他對勾股定理直觀、簡單、易懂、清晰的證明，人們把這個證明稱為勾股定理的“總統式”證明，被傳為數學史上的佳話。
研究相似三角形後我們知道，在壹個直角三角形中，斜邊上的高度把直角三角形分成兩個與原三角形相似的直角三角形。
如圖所示，在Rt△ABC中，∠ ACB = 90。使CD⊥BC，而立足則d .治
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC .
從△BCD∽△BAC可以得到BC2=BD？BA，①
AC2=AD可以從△CAD∽△BAC得到？AB .②
我們發現，把①和②相加，可以得到。
BC2+AC2=AB(AD+BD)，
並且AD+BD=AB，
於是就有了BC2+AC2=AB2，也就是
a2+b2=c2 .
這也是證明勾股定理的壹種方法，也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在勾股定理的眾多證明中，人們也會犯壹些錯誤。如果有人給出以下證明勾股定理的方法:
根據余弦定理，設△ABC，∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC，
CosC=0，因為∠ c = 90。因此
a2+b2=c2 .
這種看似正確簡單的證明方法，實際上犯了循環證明理論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。
人們之所以對勾股定理感興趣，是因為它可以推廣。
歐幾裏德在《幾何原本》中給出了勾股定理的壹個推廣定理:“直角三角形斜邊上的壹條直邊，其面積為兩個直角上兩條相似直邊的面積之和”。
從上面的定理可以推導出下面的定理:“如果以直角三角形的三條邊為直徑做壹個圓，以斜邊為直徑的圓的面積等於以兩條直角邊為直徑的兩個圓的面積之和”。
勾股定理還可以推廣到空間:如果用直角三角形的三條邊作為對應的邊來做相似的多面體，那麽多面體在斜邊上的表面積等於兩個多面體在直角邊上的表面積之和。
如果用直角三角形的三條邊做球，球在斜邊上的表面積等於兩個直角邊上做的兩個球的表面積之和。
勾股定理
勾股定理又稱商高定理、勾股定理或畢達哥拉斯定理。
在直角三角形中，斜邊的平方等於兩個直角的平方和。如果直角三角形的兩個直角是A和B，斜邊是C，那麽A？+b？=c？
據考證，人類知道這個定理至少有4000年了！
中國最早的數學著作《周並行算經》的第壹章，就包含了這個定理的相關內容:周公問:“聽說醫生善於數數，所以想請古人立壹個星期和日子的歷法。”天不能步步升，地不能丈量。我能出去幾次？"商高答道:"計數的方法來自圓，圓來自方，方來自矩，矩來自9981。因此，矩被認為是三，股票是四，直徑是五。外面是廣場，半刻，壹圈是* * *。如果妳得到三，四，五，二的矩* * *是二十和二十五，這叫做積矩。所以，余之所以統治天下，是因為這個數是天生的。“也就是說，壹個長方形對角折起來就叫直角三角形。如果鉤(短的右側)是3，繩(長的右側)是4，那麽弦(斜邊)必須是5。從上面的對話中，我們可以清楚地看到，中國古代的人們在幾千年前就已經發現並應用了勾股定理這壹重要的數學原理。
西方最早的文獻證明是由畢達哥拉斯給出的。據說他證明勾股定理的時候欣喜若狂，殺了壹百頭牛慶祝。因此，西方國家也稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從得知他的證明方法。
事實上，在更早的人類活動中，人們已經意識到這個定理的壹些特殊情況。除了以上兩個例子，據說古埃及人還用“勾三股四弦五”的規律來確定直角。然而，這個傳說引起了許多數學史家的懷疑。例如，美國數學史家m·克萊因教授曾指出:“我們不知道埃及人是否實現了勾股定理。我們知道他們有拉繩人(測量員)，但他們在繩子上打了壹個結，把整個長度分成3、4、5三段，然後用它們組成直角三角形的說法，從來沒有任何文獻證實過。”然而，考古學家發現了幾塊古巴比倫泥板，完成於公元前2000年左右。據專家考證，其中壹根上刻有如下問題:“壹根長30個單位的棍子直立在墻上。當它的上端向下滑動6個單位時，它的下端離拐角有多遠？”這是壹個三邊比為3:4:5的三角形的特例；專家還發現，在另壹塊泥板上刻有壹個奇怪的數字表，其中* * *刻有四列十五行數字，這是壹個畢達哥拉斯數字表:最右邊壹列是從1到15的序號，而左邊三列分別是股、鉤、弦的數值，壹個* * *記錄了15組。這說明勾股定理實際上已經進入了人類知識的寶庫。
勾股定理是幾何中的壹顆明珠，它充滿了魅力。千百年來，人們壹直渴望證明它，包括著名的數學家、畫家、業余數學家、普通人、尊貴的達官貴人甚至國家的總統。也許正是因為勾股定理重要、簡單、實用、更吸引人，才被反復炒作論證了幾百遍。1940年出版了壹本勾股定理的證明相冊，裏面收集了367種不同的證明方法。事實上，還不止這些。有資料表明，勾股定理的證明方法有500多種，僅清末數學家華就提供了20多種精彩的證明方法。這是任何定理都無法比擬的。(勾股定理的詳細證明因為證明過程復雜就不收錄了。※.)
人們之所以對勾股定理感興趣，是因為它可以推廣。
歐幾裏德在《幾何原本》中給出了勾股定理的壹個推廣定理:“直角三角形斜邊上的壹條直邊，其面積為兩個直角上兩條相似直邊的面積之和”。
從上面的定理可以推導出下面的定理:“如果以直角三角形的三條邊為直徑做壹個圓，以斜邊為直徑的圓的面積等於以兩條直角邊為直徑的兩個圓的面積之和”。
勾股定理還可以推廣到空間:如果用直角三角形的三條邊作為對應的邊來做相似的多面體，那麽多面體在斜邊上的表面積等於兩個多面體在直角邊上的表面積之和。
如果用直角三角形的三條邊做球，球在斜邊上的表面積等於兩個直角邊上做的兩個球的表面積之和。
諸如此類。
附錄
首先，簡單介紹壹下周鄶舒靜
《周快Kuai經》是計算十書之壹。成書於公元前二世紀，原名《周解》，是中國最古老的天文著作，主要闡述了當時的遮天理論和四季歷方法。初唐時，它被規定為國子監的教材之壹，故改名為《周快》。《周易·suan經》在數學上的主要成就是引入了勾股定理及其在測量中的應用。原書並沒有證明勾股定理，但證明是由人趙爽在《周傳·勾股方註》中給出的。
《周易·suan經》采用了相當復雜的分數算法和開平方法。
二、加菲爾德證明勾股定理的故事
1876壹個周末的傍晚，在華盛頓特區的郊外，壹個中年人正在散步，享受著傍晚的美景。他當時是俄亥俄州* * *和黨員加菲爾德。走著走著，他突然發現附近的壹個小石凳上，兩個孩子正全神貫註地談論著什麽，大聲爭吵著，小聲討論著。在好奇心的驅使下，加菲貓循著聲音來到兩個孩子身邊，想弄清楚兩個孩子在幹什麽。只見壹個小男孩俯下身，用樹枝在地上畫了壹個直角三角形。所以加菲爾德問他們在做什麽。小男孩頭也不擡地說:“請問先生，如果壹個直角三角形的兩個直角分別是3和4，那麽斜邊的長度是多少？”加菲貓回答:“是五。”小男孩又問:“如果兩個直角邊分別是5和7，那麽這個直角三角形的斜邊的長度是多少？”加菲爾德不假思索地回答:“斜邊的平方壹定等於5的平方加上7的平方。”小男孩補充道:“先生，妳能說實話嗎？”加菲貓壹時語塞，無法解釋，很不開心。
於是加菲貓停止行走，立即回家討論小男孩給他的問題。經過反復思考和計算，他終於想通了道理，並給出了簡明的證明方法。
解:勾股定理的內容:壹個直角三角形的兩個直角A和B的平方和等於斜邊C的平方，
答？+b？=c？
說明:中國古代學者把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“弦”，斜邊稱為“弦”，所以他們把這個定理稱為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形各邊之間的關系。
比如壹個直角三角形的兩個直角分別為3°和4°，那麽斜邊C2 = a2+B2 = 9+16 = 25°。
那麽斜邊就是5。
勾股定理
第壹章勾股定理1。勾股定理的內容，勾股定理是如何得到的，妳從定理的證明中得到了什麽啟示？練習:圖中字母B代表的正方形是()a . 12b . 13c . 144d . 1941。在△ABC中，∠c = rt∞。(65436 C =13。那麽b =。(3)如果c =61，b =11。那麽a =。(4)若a∶c =3∶5，c =20，則b =。(5)如果√。BC 2 = cm2。2、直角三角形的壹條邊和壹條斜邊分別為8厘米和10厘米。那麽斜邊上的高度就高於cm。3、等腰三角形的周長是20cm，底邊上的高度是6cm，所以底邊的長度是cm。4、in △ABC，AB = AC，∠ BAC = 120。那麽BC的高度就是AD = cm。5、且已知△ABC，∠ ACB = 90，CD⊥AB在d中，BC=，DB=2cm，則BC cm，AB= cm，AC= cm。6、如圖，有人想過河，卻因水流影響實際落地。7.在壹棵樹的10米的高度有兩只猴子。壹只猴子爬下樹，走到離樹20米遠的池塘邊。另壹個爬到樹頂D直接跳到A，距離按直線計算。如果兩只猴子經過的距離相同，那麽這棵樹就是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _樹
8.給定壹個Rt△的兩邊分別是3和4，第三邊的平方是()。
a，25 B，14 C，7 D，7或25
9.小鳳的媽媽買了壹臺29英寸(74厘米)的電視機。以下關於29英寸的說法哪個是正確的？
A.小峰認為是指屏幕的長度；b .小峰媽媽認為是指屏幕的寬度；
C.小峰爸爸認為是指屏幕的周長；d .銷售員認為是指屏幕對角線的長度
10、
2.妳有多少種方法證明三角形是直角三角形？
練習:
如果壹個三角形的三條邊長是(a+b)2=c2+2ab，那麽這個三角形是()。
A.等邊三角形；b .鈍角三角形；c .直角三角形；d .銳角三角形
1.在δδABC中，如果AB2+BC2 = AC2，那麽∠ A+∠ C = 0。
2.如圖，如果小正方形的邊長為1，則正方形網格中的△ABC為()。
(a)直角三角形(b)銳角三角形
(B) (C)鈍角三角形(d)以上答案都不正確
給定三角形三條邊的長度分別為2n+1，2n+2n，2n+2n+1 (n為正整數)，則最大角等於_ _ _ _ _ _ _ _ _。
3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A = 90°，求四邊形ABCD的面積。
閱讀材料:
三角學中有壹個很重要的定理，在中國叫勾股定理和商高定理。因為《周並行算經》中提到，商高說“勾三股四弦五”。這裏有壹些證明。
原證明有分歧。設A和B是直角三角形的直角邊，C是斜邊。考慮下圖中兩邊都是a+b的正方形A和B。把A分成六份，B分成五份。由於八個小直角三角形全等，從等值中減去等值，可以推導出斜邊的平方等於兩個直角邊的平方之和。這裏，B中的四邊形是邊長為c的正方形，因為直角三角形的三個內角之和等於兩個直角。上述證明方法稱為減法同余證明方法。圖表B是每周並行計算經典中的“弦圖”。
下圖是H. Perigal在1873中給出的證明，是壹種加法同余證明方法。其實這個證明是重新發現的，因為Labitibn Qorra (826 ~ 901)已經知道了這個除法。(比如右圖)下列證明之壹是H？e？是杜德妮在1917給的。也是壹種加同余的證明方法。
如右圖所示，邊長為b的正方形面積加上邊長為a的正方形面積等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法據說是L？達？Vinci(1452 ~ 1519)設計的，用的是減法同余的證明方法。
歐幾裏得在《幾何原本》第壹卷命題47中對勾股定理給出了極其巧妙的證明，比如下壹頁的圖片。因為圖形漂亮，有人叫它“修士的頭巾”，也有人叫它“新娘的轎子”，真的很有意思。華教授曾建議把這張照片送到宇宙中去與“外星人”交流。證明的大綱是:
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .
類似地，(BC)2=KEBL
因此
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家和天文學家巴斯卡拉(活躍在1150左右)給出了勾股定理的壹個精彩證明，也是壹個分裂證明。如下圖所示，將斜邊上的正方形分成五份。其中四個是與給定的直角三角形全等的三角形；壹部分是以兩條直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分再拼起來，得到兩個直角的平方和。事實上，
Poshgaro也給出了下圖的壹個證明。在直角三角形的斜邊上畫出高度，得到兩對相似的三角形，這樣就有了
c/b=b/m，
c/a=a/n，
cm=b2
cn=a2
兩邊加起來
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明在17世紀被英國數學家J. Wallis (Wallis，1616 ~ 1703)重新發現。
幾位美國總統與數學有著微妙的聯系。g？華盛頓曾經是壹位著名的測量員。t？傑斐遜大力推動美國高等數學教育。林肯通過研究歐幾裏得的《幾何原本》來研究邏輯。更有創意的是第17任校長J.A .加菲爾德(Garfield，1831 ~ 1888)，他在學生時代就對初等數學有著濃厚的興趣和高超的天賦。1876，(當時是眾議員，5年後當選美國總統)給出了壹個漂亮的勾股定理證明，發表在《新英格蘭教育雜誌》上。證明的思路是利用梯形和直角三角形的面積公式。如下頁所示，它是由三個直角三角形組成的直角梯形。用不同的公式求相同的面積
也就是
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證明往往是中學生學習幾何時感興趣的。
這個定理有很多巧妙的證明(據說有近400種)。下面給學生舉幾個例子，都是用謎題證明的。
證明1如圖26-2所示。在直角三角形ABC的外側，做正方形ABDE、ACFG和BCHK，它們的面積分別為c2、b2和a2。我們只需要證明壹個大正方形的面積等於兩個小正方形的面積之和。
通過C引出CM‖BD，將AB交叉到L，連接BC和CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以△ACE?△AGB
但是
因此
SAEML=SACFG (1)
同樣的方法也可以證明。
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)
SABDE=SACFG+SBKHC，
即c2=a2+b2
證明2如圖26-3所示(圖趙)。用八個直角三角形ABC組成壹個大正方形CFGH，邊長為a+b，裏面有壹個內接正方形ABED，邊長為C，如圖所示。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以a2+b2=c2
證明3如圖26-4所示(梅文鼎地圖)。
在直角△ABC的斜邊AB上向外畫壹個正方形ABDE，在直角AC上畫壹個正方形ACGF。可以證明(略)擴GF必過E；將CG延伸到k，使GK=BC=a，連接KD，使DH⊥CF在h，則DHCK是邊長為a的正方形. set
五邊形的面積
壹方面，
S=平方ABDE面積+2乘以△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面，
S=平方ACGF面積+平方DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab。(2)
源自(1)和(2)
c2=a2+b2
證明4如圖26-5(項名達圖)，在直角三角形ABC的斜邊上做了壹個正方形ABDE，在直角三角形ABC的兩個直角CA和CB的基礎上完成了壹個邊長為B的正方形BFGJ(圖26-5)。可以證明(略)GF的延長線必過d .將AG延伸到k，使GK=a，設EH⊥GF為h，則EKGH必是邊長等於a的正方形
設五邊形EKJBD的面積為s .壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面，
S=SBEFG+2？S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
源自(1)和(2)
c2=a2+b2
楊作美；
何夢瑤圖；
陳傑圖；
華方恒圖
都是按面積驗證的:壹個大面積等於幾個小面積之和。用同壹面積的不同表示得到方程，然後簡化得到勾股定理。)見/21010000/VCM/0720 gdl。醫生。