隨機微積分有什麽用？

1.什麽是隨機微積分？\x0d\\x0d\總之，為隨機變量建立了壹套類似於普通微積分的理論，使我們可以像對普通變量壹樣對隨機變量做微積分。\x0d\\x0d\知道了這些，我們往往可以把普通微積分的思維方式映射到隨機微積分上。比如我們壹開始不理解某些概念的作用，可以思考壹下在常微分\x0d\積分中這個概念對應的概念的作用。\x0d\\x0d\2。微積分的理論框架是如何建立的？\x0d\\x0d\總之，跟風。這裏的“樣本”指的是普通微積分。\ x0d \ x0d \在普通微積分中，最基本的理論基礎是“收斂”和“極限”這兩個概念，其他所有概念都是基於這兩個基本概念。對於隨機微積分，我們在建立了現代概率論體系(基於實分析和測度論)之後，在發展常微分積的同時也建立了“收斂”和“極限”的概念。不同於普通的數學分析，我們現在處理的是隨機變量，比過去的普通變量要復雜得多，相應的“收斂”和“x0d \極限”等概念也復雜得多。其實隨機微積分的“收斂”不止壹個，對應的“極限\x0d”也不止壹個。常用的收斂概念有以概率1收斂(幾乎\ x0d \肯定)和均方收斂。\x0d\\x0d\另壹個需要新建立的是積分變量。在壹般微積分中，積分變量是壹般實變量\x0d\，也就是被積函數的因變量，基本上我們不需要做什麽。然後微\x0d\積分的積分變量是布朗運動，所以在數學上嚴格定義和構造布朗運動要花壹點功夫。\x0d\這個過程是構造隨機微積分過程中的壹個基本環節。在定義了\x0d\x0d\ "收斂\ "、\ "極限\ "、\ "積分變量\ "之後，我們可以像普通\ x0d \微積分中的定義壹樣，跟風定義下壹系列概念。\x0d\\x0d\3。它和普通微積分有什麽區別？\x0d\\x0d\最基本的區別是積分變量是布朗運動，布朗運動是時間的函數，但它有壹個特殊的性質:布朗運動處處連續但處處不導數。正是這種特殊的性質使得立即微積分不同於普通微積分。\x0d\\x0d\在普通微積分中，我們其實已經接觸過“基本變量的函數”作為積分變量\x0d\的情況。比如g(x)是X的函數，我可以用G作為積分變量來積分:\ x0d \ \ x0d \ int _ {g = g (a)。這是我們在普通微積分中已經解決的問題，因為dg = \x0d\g'dx，所以上面的公式可以寫成:\ x0d \ x0d \ int _ { x = a } { x = b } f(g(x))g '(x)dx \ x0d \正是因為這個“微分”不存在，所以上面在普通微分積\x0d\ points中可以直接進行的微分運算在立即微積分中就不能直接進行。\ x0d \ x0d \例如在普通微積分中，有壹個基本的微積分公式\ x0d \(ln x)' = 1/x \ x0d \ \ x0d \從而\ x0d \ dx/x = d (ln x)。\ x0d \ \x0d\\x0d\這就要求我們建立新的基本操作規則。\x0d\\x0d\4。瞬時微積分的基本運算規則是什麽？\x0d\\x0d\在普通微積分中，我們首先定義牛頓-萊布尼茲公式\ x0d \ f(b)-f(a)= \ int _ a BF '(x)dx \ x0d \ \ x0d \然後我們定義壹系列基本算法，比如\\ x0d \ d (xy) = x * dy+y * dx \ x0d \ x0d \以及基本的微積分公式，如\ x0d \(x ^ 2)' = 2x；\x0d\\int exp(x)dx = exp(x).\x0d\ x0d \那麽我們在實際做微積分運算的時候，主要是把要計算的微分或者積分按照運算法則分成這些微積分基本公式，然後放入這些微積分基本公式中進行計算。\ x0d \ x0d \在隨機微積分中，我們做同樣的事情。\x0d\\x0d\使隨機微積分與普通微積分運算不同的是與牛頓-萊布尼茨公式基本相反的新微積分公式。\x0d\\x0d\普通微積分的牛頓-萊布尼茲公式是通過分區間近似求和，然後取極限得到的。在隨機微分積x0d分數中，我們可以用同樣的方法來定義積分，但是取這種近似的方法不同會導致計算結果的不同。目前最實用的近似方法是由日本數學家伊藤提出的，即在計算某個區域之間的\x0d\對整個積分的貢獻時，用這個差的左邊界的函數值代替整個區間的函數值。\x0d\(註:定義普通微積分時，我們用這個區間內的任意壹點。由於函數的可微性，可以使用這個\x0d\區間上的任何壹點。這裏的函數是不可微的，所以不能像普通微積分壹樣用任意點的函數值來代替)\x0d\用這種逼近方法可以得到下面的基本公式(對應於普通微積分中的牛頓-萊布尼茨公式)，Ito公式:\ x0d \ x0d \ f(w int _ 0t f '(w(u))dw(u)+1/2 \ int _ 0t f ' '(w(u))du \ x0d \ x0d \是這樣的\ x0d \ x0d \用Ito公式可以計算壹些基本的常用微積分公式，如f (x) = ln (x)，f \ x0d \' = 1/x，f'' =-1/x 2s，so \ \ Int _ 0t(1/w(u))dw(u)+1/2 \ Int _ 0t(-1/w(u)2)du \ x0d \ next\x0d\\x0d\實用隨機微積分壹般既涉及普通變量的時間t，又涉及隨機變量的布朗運動W(t)。\x0d\接觸t相關部分時註意普通微積分的規律，接觸W(t)相關部分時註意隨機微分積的規律\x0d\註意。\x0d\ x0d \ 5。關於隨機微分方程\ x0d \ x0d \如果妳學的是隨機微分方程，那麽妳會遇到隨機微積分中最大的笑話，那就是雖然\ x0d \人們經常談論隨機“微分”方程，但其實他們處理的都是隨機積分方程。\x0d\\x0d\比如描述股票運動最著名的方程(其解是幾何布朗運動)，我們通常\x0d\看到如下形式:\ x0d \ x0d \ ds = \ musdt+\ sigma dsdw \ x0d \ x0d \這個看似微分的方程。所以，這不是壹個\x0d\微分方程。其實只是下面這個積分方程的簡寫:\ X0d \ X0d \ s(t)-s(0)= \ int _ 0t \ musdt+\ int _ 0t \ sigmadsdw(u X0d \ \ X0d \ dx(t)= \ mu(t，x (t)) dt+\ sigma (t，x (t)) dw (t) \ x0d \ \ x0d \經過剛才的例子，妳很容易理解這其實是壹個積分方程。\x0d\x0d\在求解隨機微分方程的具體方法上並沒有什麽新意，與普通的常微分方程和偏微分\x0d\分式方程壹樣，只是Ito積分的\ x0d \公式要適用於所有以w為變量的微分和積分。\x0d\x0d\就像解析方法在常微分方程和偏微分方程中能解決的問題非常有限壹樣，解析方法在\ x0d \機微分方程中能做的事情也非常有限，實際工作中主要使用數值方法。直接求解隨機微分方程的數值方法其實就是模擬。\x0d\模擬主要分為強近似和弱近似。前者模擬大量符合微分方程的過程，然後根據模擬的\x0d\過程計算統計值。後者也模擬了大量的過程，但這些過程並不嚴格符合方程所描述的過程的性質，而只是在某些方面(如終時值的期望和方差)接近方程所描述的過程。\ x0d \ x0d \隨機微分方程的數值解基本上是常/偏微分方程數值解的推廣，如歐拉的\ x0d \方法，與常微分方程的歐拉方法幾乎相同。不同的是\x0d\Euler的方法是用來求解常微分方程的，而這個壹步壹步計算各點值的過程只需要進行壹次。\x0d\但是求解隨機微分方程時，壹次只得到壹個樣本過程。為了解壹個方程，這些過程需要重復很多次。\x0d\\x0d\6。隨機微分方程與偏微分方程的關系\ x0d \ x0d \再寫出隨機微分方程的壹般形式\ x0d \ x0d \ dx (t) = \ mu (t，x (t)) dt+\ sigma (t假設我們關心x (t)的壹個函數的期望值(在實際工作中，我們幾乎總是只關心這個\ x0d \，比如E[x (t)]是X(T)本身的期望，Var[X(T)]是X ^ 2(T)的期望， 並且假設這個函數是H，\x0d\ \x0d\換句話說，我們需要計算h(X(T))在時間T的條件期望，我們將這個條件期望寫成g (t，x (t)) \x0d\ x0d \ g (t，x (t)) = e [h (x (t)) | f .進壹步，可以證明在壹定條件下，G是壹個\ x0d \鞅。 既然是鞅，那麽如果計算g的微分，那麽微分中的dt項應該是0，\x0d\這是建立隨機微分方程和偏微分方程最基本的出發點。實際上dg中dt項為0，由此得出以下結論:\x0d\ x0d \ g _ t (t，x)+\ mu (t，x) g _ x (t，x)+1/2 \ sigma 2 (t)。\x0d\\x0d\所以我們從隨機微分方程得到壹個偏微分方程。註意，這個偏微分方程非常有用，因為在實際工作中，我們並不關註X(t)作為隨機過程的細節，而只關註他的某些函數的期望和條件期望，比如e [h (x (t) | f (t)]。上面的微分方程\x0d\解決了這個問題。所以很多時候，面對壹個隨機微分方程的問題，我們其實並不需要求解隨機微分方程，而只需要求解對應的偏微分方程。\x0d\\x0d\上面描述的關系叫做費曼-卡奇定理。\ x0d \ x0d \對了，金融學中著名的Black-Scholes-Merton微分方程，其實就是費曼-\x0d\Kac定理的壹個小應用。\x0d\ x0d \如果我們計算EXP (-r (t-t)) h(X(T))而不是h(X)的條件期望，基於相同的\ x0d \ sample推導，可以得到壹個類似的偏微分方程:\x0d\ x0d。X) g _ {xx} (t，x) = rg (t，x) \ x0d \ \ x0d \這是布萊克-斯科爾斯-默頓微分方程。