事實上，在更早的人類活動中，人們已經認識到這個定理的壹些特殊情況。除了1000多年前在中國發現的畢達哥拉斯定理，據說古埃及人也用“勾三股四弦五”定律來確定直角。然而，這個傳說引起了許多數學史家的懷疑。例如，美國數學史家m·克萊因教授曾指出:“我們不知道埃及人是否實現了勾股定理。我們知道他們有拉繩子的人(測量員)，但是他們在繩子上打了壹個結，把整個長度分成3、4、5三段，然後用它組成壹個直角三角形的理論從來沒有在任何文獻中得到證實。”然而，考古學家發現了幾塊古巴比倫泥板，完成於公元前2000年左右。據專家考證，其中壹根上刻有如下問題:“壹根長30個單位的棍子直立在墻上。當它的上端向下滑動6個單位時，它的下端離拐角有多遠？”這是壹個邊長為3:4:5的三角形的特例；專家們還發現，在另壹塊木板上刻著壹張奇怪的數字表，上面有四列十五行數字。這是壹個畢達哥拉斯數表:最右邊壹列是從1到15的序號，左邊三列分別是股、鉤、串的值，壹共記錄了15組畢達哥拉斯數。這表明勾股定理。
無論是最早發現勾股定理的古埃及人、巴比倫人還是中國人，我們的祖先在不同時期、不同地點發現的同壹財產，顯然不僅僅是任何壹個民族的私有財產，而是全人類的共同財富。值得壹提的是，發現這個共同屬性後的收獲並不完全壹樣。下面以勾股定理和勾股定理為例簡單介紹壹下。
1.畢達哥拉斯定理
畢達哥拉斯是壹個古希臘人的名字。畢達哥拉斯生於公元前6世紀，早年遊歷埃及、巴比倫(另壹種說法是印度)等地，後來移居意大利半島南部的克羅托內，在那裏組織了壹個秘密團體——畢達哥拉斯學派，該學派非常重視數學，試圖用數字解釋壹切。他們聲稱數字是宇宙萬物的起源。學習數學的目的不是為了實用，而是為了探索自然的奧秘。他們對數學的壹大貢獻就是有意識地承認和強調圖形、數字等數學事物是思維的抽象，與實際事物或實際形象完全不同。原始文明社會的壹些人(如埃及人和巴比倫人)也懂得不用數字進行思維，但他們對這種思維的抽象性的自覺認識程度，與畢達哥拉斯學派相比，有相當大的差距。而且在希臘人之前，幾何思想是離不開實物的。例如，埃及人認為壹條直線是壹條繃緊的繩子或壹塊田地的邊緣；矩形是字段的邊界。畢達哥拉斯學派的另壹個特點是將算術與幾何緊密聯系在壹起。
正因為如此，畢達哥拉斯學派找到了壹個用三個整數表示直角三角形邊長的公式，這個公式同時屬於算術和幾何:如果2n+1和2n2+2n分別是兩個直角邊，那麽斜邊就是2n2+2n+1(雖然這個規則不能表示所有的整數畢達哥拉斯數組)。正是基於以上原因，這所學校。發現所謂的“不可公度量”例如等腰直角三角形的斜邊與直角邊的比值，即正方形的對角線與它的邊的比值，不能用整數的比值來表示。正因如此，他們把那些可以用整數之比表示的比值稱為“可公度比”，也就是說這兩個量可以用壹個共同的度量單位來度量。不能用這種方式表達的比率叫做“不可公度比”。正如我們今天所寫的，1的比率是不可公度的比率。至於與1不可通約的證明，也是畢達哥拉斯學派給出的。這個證明指出，如果等腰直角三角形的斜邊可以與壹個直角可公度，那麽同壹個數將既是奇數又是偶數。證明過程如下:設壹個等腰直角三角形。讓這個比值表示為最小整數的比值。根據畢達哥拉斯定理2=2+2，有2 = 22。既然22是偶數，也就是x2是偶數，那它壹定是偶數，因為任何奇數的平方壹定是奇數(任何奇數都可以表示為2n+1) 2 = 4N2+。不可避免地，它不是偶數而是奇數。既然是偶數，就可以設為= 2。所以2 = 42=22。因此，2 = 22。所以，2是偶數，所以是偶數，但同時又是奇數，這就產生了矛盾。
關於畢達哥拉斯定理的證明，人類保存下來的最早的文字材料是歐幾裏得(約公元前300年)寫的《幾何》第壹卷中的命題47:“壹個直角三角形斜邊上的平方等於兩個直角邊上的平方之和”。實際上，畢達哥拉斯學派更關心的是數學問題本身的研究；以畢達哥拉斯學派為代表的古希臘數學以空間形式為主要研究對象，以邏輯演繹推理為主要理論形式。勾股定理的發現(可公度比和不可公度比的研究和討論)實際上導致了無理數的發現。雖然畢達哥拉斯學派不願意接受這樣的數，導致了數學史上所謂的第壹次數學危機，但是畢達哥拉斯學派的探索仍然是不可或缺的。
二、中國的勾股定理
在我國，至今所能找到的最早的畢達哥拉斯定理的記載是《周並行算經》，成書於公元前1世紀左右，其中有壹段1，000多年前的對話:“前周公問商高:聽說大夫精於數數，故想請古人作周歷、日歷，夫地不可逐升。”商高說:計數的方法來源於圓。圓來自壹個正方形，正方形來自壹個瞬間，瞬間來自99.81。所以瞬間折疊，以為鉤是三，股是四，徑是五。"
《周髀算經》中也有陳子測量太陽的記載:根據畢達哥拉斯定理，周子可以測量太陽的高度和距離。例如，當求出太陽的高度，測出測量員所在位置到太陽下方壹點的距離時，計算太陽距離的方法是:“若向太陽求惡，以太陽為鉤，太陽的高度為股，畢達哥拉斯自乘，除之。”
《周篇經》是中國最早的數學著作。主要講述學習數學的方法，如何用勾股定理計算深奧的距離和復雜的分數計算等。到了唐代，《周篇經》與漢唐出現在中國壹千多年的其他九部數學著作壹起，被國子監數學館指定為教科書。後人壹般稱這十部書為“計算經典十書”，全面反映了中國從先秦到初唐的數學成就。很多都涉及到勾股定理的內容，尤其是《九章算術》(計算經典十書之壹)第九章專門講直角三角形的理論，討論的主要內容是勾股定理及其應用。這壹章有問題。提出了22項技術。其中第六題是著名的“把水引到岸上”:“今有壹池，高壹尺，水長在其中心。它壹腳出來，就把水劃到岸上，問水深幾何，長短幾何。”這是壹個廣為流傳的話題，類似的話題在其他書中也壹再出現，比如成。
根據勾股定理，我們的祖先還發明了壹種由相互垂直的鉤尺和柄尺組成的量具力矩。如《周編Bian經》記載了商高用矩之道的討論:“平矩以正索，矩望高，復矩量深，臥矩知遠。”又如我國魏晉時期傑出的數學家劉徽，在其名著《列島算》中第四題是:“今料谷深，矩平於岸，使鉤高六尺，從鉤端見底，下股九尺壹寸， 且矩定於頂，矩隔三尺，從鉤端見底，末股八尺五寸，谷深幾何問。”
目前，中國最早的勾股定理證明被認為是漢代趙雙註《周易·舒靜》。
中國古代的數學和古希臘的數學不壹樣。實際上，我國數學的主要研究對象不是空間形式，而是數量關系。它的理論形式不是邏輯演繹體系，而是以問題求解為中心的算法體系。與古希臘數學的思維方式不同，中國古代數學家的思維方式主要是直覺思維，類比是發現和推斷結果的主要手段。
對於勾股定理，中國古代的數學家們並沒有專註於僅僅給出邏輯推理的嚴格證明，也沒有在不可公度量是什麽上做文章，而是基於對壹種可以用它來解決的實際問題算法的深入研究。通過在直角三角形範圍內討論與勾股定理和類似的直角三角形性質定理相關的命題，他們引入了壹種組合比算法——勾股算法。畢達哥拉斯以相似直角三角形的概念為基本概念，以相似直角三角形的性質為基本性質，這樣相似直角三角形之間的相似比就構成了畢達哥拉斯的核心。畢達哥拉斯表達了相似畢達哥拉斯對應邊按比例的原理，解決了畢達哥拉斯整數和畢達哥拉斯二容(包含圓和正方形)的問題。建立了畢達哥拉斯測量的理論基礎。後來，劉徽竟然把類似勾股形狀的理論定義為勾股比理論，並明確提出了“成本比不損失”的原則。他還將這壹原理與比例算法相結合，論證了各種勾股測量原理，從而為中國古代勾股觀測建立了堅實的理論基礎。
也有專家指出，勾股定理在中國古代數學中占有非常重要的地位，幾千年來逐漸形成了以勾股定理及其應用為核心的中國式幾何。