幾何布朗運動(GBM)(也稱為指數布朗運動)是連續時間內的隨機過程，其中隨機變量的對數遵循布朗運動。[1]幾何布朗運動應用於金融數學中，在Black-Scholes模型中模擬股票價格。在這個問題中，假設有壹種新的投資類型，如果在投資購買後的六個月內，證券的價格至少為105，壹年後的價格至少與六個月內的價格壹樣多，則計算為:50倍exp(-0.04)，然後乘以S(1/2)>將105的概率乘以S(1)>S(1/2)，這筆投資壹年後的回報是50。
常見隨機過程介紹
1)幾何布朗運動(GBM):該過程由Black-Scholes(1973)引入期權定價的文獻中。雖然這個過程存在壹些缺陷，與實證研究有所沖突，但它仍然是期權和衍生品估值的壹個基本過程。
2)CIR模型:平方根擴散過程，由Cox，Ingersoll和Ross(1985)提出，用於建模均值回復的次數，如利率或波動率。除了均值回歸的特點，這個過程仍然是積極的。
3)跳躍擴散過程:首先由Merton(1976)給出，它在幾何布朗運動中加入了對數正態分布的條約成分，這使得我們可以考慮，例如短期的假想(OTM)期權通常需要在條約可能性較大的情況下定價。換句話說，依靠GBM作為金融模型通常不能解釋這種OTM期權的價格，但跳躍-擴散過程可能是壹個很好的解釋。
4)赫斯頓模型:是史蒂文·赫斯頓(1993)提出的描述標的資產波動的數學模型。赫斯頓模型(Heston model)是壹種隨機波動模型，它假設資產收益的波動性不是常數和不確定的，而是遵循壹個隨機過程。
5)SABR模型:SABR模型是Hagan(2002)提出的隨機波動模型。它摒棄了原BSM模型中波動率為常數的假設，假設隱含波動率也符合幾何布朗運動，並將隱含波動率設定為目標價格和合約行權價格的函數，結合了隱含波動率修正模型(隨機波動率模型和局部波動率模型)的兩種思想，更加準確、動態地刻畫了符合市場特征的隱含波動率曲線。