從我們出生開始，我們看到的世界就貫穿著時間，股票的走勢，人的高度，車的軌跡都會隨著時間而變化。這種以時間為參照物觀察動態世界的方法叫做時域分析法。而我們也理所當然地認為，世界上的壹切都是隨著時間不斷變化的，永遠不會停止。但如果我告訴妳換個角度看這個世界，妳會發現這個世界是永恒的。妳認為我瘋了嗎？我沒瘋。這個靜止的世界叫做頻域。
二、傅立葉級數的頻譜。
還不如舉個栗子，有圖有真相才能明白。
如果我說我可以把壹個矩形波和上面說的正弦波疊加成90度角，妳會相信嗎？妳不會的，就像我壹樣。但是看看下面這張圖:
第壹幅圖是壹個下降的正弦波cos(x)
第二張圖是兩個可愛的正弦波cos (x) +a.cos (3x)的疊加。
第三張圖是四個彈簧正弦波的疊加。
第四張圖是10便秘正弦波的疊加。
隨著正弦波數量的增加，它們最終會疊加成壹個標準的矩形。妳從中學到了什麽？只要努力，就能彎直！)
隨著疊加的增加，所有正弦波的上升部分逐漸使原本緩慢上升的曲線變陡，而所有正弦波的下降部分抵消了上升到最高點時繼續上升的部分，使其成為壹條水平線。這樣就疊加了壹個矩形。但是需要疊加多少個正弦波才能形成標準的90度矩形波呢？可惜，答案是無限的。上帝:我能讓妳猜猜我嗎？)
不僅僅是矩形，妳能想到的任何波形都可以用這種方式疊加正弦波。這對於沒有接觸過傅立葉分析的人來說是第壹個直觀的困難，但是壹旦接受了這個設定，遊戲就開始有趣了。
或者上圖中的正弦波累加成矩形波。讓我們從另壹個角度來看:
在這些圖中，前面的黑線是所有正弦波的總和，也就是越來越接近矩形波的圖形。以不同顏色排列的正弦波是矩形波的組成部分。這些正弦波按照頻率從低到高從前到後排列，每壹個波的振幅都不壹樣。細心的讀者壹定發現了，每兩個正弦波之間還有壹條直線，這不是分界線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了形成壹條特殊的曲線，有些正弦波成分是不必要的。
在這裏，不同頻率的正弦波成為頻率分量。
嗯，這是鑰匙！！
如果我們把頻率最低的第壹個頻率分量看作“1”，我們就有了構造頻域的最基本單位。對於我們最常見的有理軸，數字“1”是有理軸的基本單位。
(嗯，數學上叫-base。當時這個詞還沒有其他奇怪的解釋，後面還有正交基之類的詞。我能說嗎？)
時間域的基本單位是“1”秒。如果我們把壹個角頻率為ω 0的正弦波COS (ω0t)作為基礎，那麽頻域的基本單位就是ω0。
用“1”和“0”組成世界，頻域的“0”是什麽？Cos(0t)是壹個無限周期的正弦波，是壹條直線！因此，在頻域中，零頻率也被稱為DC分量。在傅裏葉級數的疊加中，它只影響整個波形相對於數軸向上或向下，而不改變波形的形狀。
接下來我們回到初中，回憶壹下死去的八戒，啊不，死去的老師是怎麽定義正弦波的？
正弦波是圓周運動在直線上的投影。所以頻域的基本單位也可以理解為壹個壹直在旋轉的圓。
傅立葉級數方波圓動畫. gif
【傅裏葉系列鋸齒波圓動畫. gif】
介紹了頻域的基本成分後，我們可以看看矩形波在頻域中的另壹種表現:
這是什麽奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子。是不是完全認不出來了？教科書壹般都是在這裏給出，然後留給讀者無盡的遐想和無盡的吐槽。其實教科書補充壹張圖就夠了:頻域圖像，也叫頻譜，是——
要明確的是:
可以發現，在頻譜中，偶項的振幅都為0，對應的是圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。
傅立葉級數和變換
說實話，我在研究傅立葉變換的時候，Wiki的這個圖還沒有出現，我當時就想到了這個表述，Wiki沒有表述的另壹個譜——相位譜，後面會補充。
但在討論相位譜之前，讓我們回顧壹下這個例子的含義。還記得前面提到的“世界靜止”這句話嗎？這句話估計很多人已經抱怨很久了。想象壹下，世界上每壹個看似混亂的表象，其實都是時間軸上的壹條不規則曲線，而這些曲線其實都是由這些無窮無盡的正弦波組成的。我們看起來不規則的是規則的正弦波在時域的投影，正弦波是壹個旋轉的圓在直線上的投影。那麽妳腦海中會浮現出什麽樣的畫面呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布。幕後有無數齒輪。大齒輪帶動小齒輪，小齒輪帶動小齒輪。在最外面的小齒輪上有壹個小人——那就是我們自己。我們只看到小個子在幕布前不規則地表演，卻無法預測他接下來會去哪裏。但是幕布後面的齒輪總是那樣不停地旋轉，從不停止。那有點宿命論。說實話，這種對生活的描述是我壹個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的。當時我覺得這是不可理解的，直到有壹天我學習了傅立葉級數...
第三，傅立葉級數的相位譜。
上壹章的關鍵詞是:從側面。本章的關鍵詞如下。
本章壹開始，我想先回答壹個很多人問的問題:傅立葉分析是幹什麽用的？這壹段比較枯燥，已經知道的同學可以直接跳到下壹個分割線。
我來說壹個最直接的用途。無論是聽廣播還是看電視，我們都必須熟悉壹個詞——頻道。信道信道就是頻率的信道，不同的信道用不同的頻率作為壹個信道來傳遞信息。讓我們試試壹件事:
先在紙上畫個罪(x)，不壹定標準，但意思差不多。沒那麽難。好了，我們來畫壹個sin(3x)+sin(5x)的圖。不要說標準不標準。上升或者下降的時候不壹定畫曲線吧？
好吧，畫不出來也沒關系。我給妳sin(3x)+sin(5x)的曲線，但前提是妳不知道這條曲線的方程。現在我需要妳把sin(5x)從圖片中去掉，看看還剩下什麽。這基本不可能。但是在頻域呢？很簡單，無非就是幾條豎線。
所以，很多在時域看似不可能的數學運算，在頻域就可以很容易的反過來。這就是需要傅裏葉變換的地方。尤其是從壹條曲線中去掉某些特定的頻率成分，工程上稱為濾波，是信號處理中最重要的概念之壹，只有在頻域中才能很容易地做到。
再來說壹個更重要，但是稍微復雜壹點的用法——解微分方程。微分方程的重要性不用我過多介紹。它被用於各行各業。但是解微分方程是壹件比較麻煩的事情。因為除了計算加減乘除，還要計算微分積分。傅裏葉變換可以讓微分和積分變成頻域的乘除，大學數學瞬間變成小學算術。
當然，傅立葉分析還有其他更重要的用途，我們會在發言時提到。
讓我們繼續討論相位譜:
通過從時域到頻域的變換，我們從側面得到壹個頻譜，但是這個頻譜並不包含時域的全部信息。因為頻譜只代表每個對應正弦波的幅度，沒有提到相位。在基本正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅、頻率和相位缺壹不可，不同的相位決定了波的位置。所以對於頻域分析，只有頻譜(振幅譜)是不夠的，我們需要相位譜。那麽這個相位譜在哪裏呢？我們來看下圖。這次為了避免圖片過於混亂，我們用壹張七波疊加的圖。
由於正弦波是周期性的，我們需要設置壹些東西來標記正弦波的位置。圖片上的那些是小紅點。小紅點是離頻率軸最近的峰值，這個峰值離頻率軸有多遠？為了看得更清楚，我們把紅點投影到下平面，投影點用粉點表示。當然，這些粉紅色的點只是表示從峰值到頻率軸的距離，而不是相位。
這裏需要糾正壹個概念:時差不是相位差。如果把所有周期都看成2Pi或者360度，相位差就是壹個周期內時間差的比例。我們將時間差除以周期，再乘以2Pi，得到相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時差依次除以頻率的周期，得到最低的相位譜。因此，從側面看光譜，從底部看相位光譜。下次妳被抓到偷看女生裙子，妳可以告訴她:“對不起，我只是想看妳的相譜。”
註意，相位譜中的相位除0外都是π。因為cos(t+Pi)=-cos(t)，實際上相位為Pi的波只是上下翻轉。對於周期方波的傅立葉級數，這樣的相位譜是非常簡單的。另外，值得註意的是，因為cos(t+2Pi)=cos(t)，所以相位差是周期性的，Pi與3pi、5pi、7pi相同。人為定義的相位譜的範圍是(-π，π)，所以圖中的相位差都是π。
最後，壹個大集合:
四、傅立葉變換(Fourier Tranformation)
傅立葉變換實際上是壹個無限周期函數的傅立葉變換。
所以鋼琴譜其實並不是壹個連續的譜，而是時間上很多離散的頻率，但是這麽貼切的比喻真的很難找到第二個。
因此，傅裏葉變換在頻域中從離散譜變為連續譜。那麽連續光譜是什麽樣子的呢？
妳見過大海嗎？
為了方便比較，我們這次換個角度看光譜，還是傅裏葉級數用的最多的那張圖。我們再看頻率更高的方向。
以上是離散譜。連續光譜是什麽樣子的？
充分發揮妳的想象力，想象這些離散的正弦波越來越近，逐漸變成連續的...
直到它變得像洶湧的大海:
不好意思，為了更清楚的看到這些波浪，我沒有選擇正確的計算參數，而是選擇了壹些參數讓畫面更漂亮，不然畫面看起來就是屎。
但是對比這兩張圖，妳應該能明白怎麽從離散譜變成連續譜了吧？離散光譜的疊加變成了連續光譜的累加。所以在計算上從求和符號變成了積分符號。
然而，故事還沒有結束。接下來我保證會給妳看壹個比上面更漂亮更壯觀的畫面，但是這裏妳需要引入壹個數學工具來延續故事。這個工具是-
五、宇宙第壹公式:歐拉公式
虛數的概念我高中的時候大家都有所觸動，但是那時候我們只知道它是-1的平方根，但是它的真實意義是什麽呢？
這裏是壹個數軸，數軸上有壹條紅色線段。它的長度是1。當乘以3時，其長度發生變化，變成藍色線段，而乘以-1時，變成綠色線段，或者線段在數軸上繞原點旋轉180度。
我們知道乘以-1實際上是乘以I兩次使線段旋轉180度，乘以I壹次——答案很簡單——旋轉90度。
同時，我們得到壹個垂直的虛軸。實軸和虛軸* * *同構形成復平面，也稱為復平面。這樣，我們知道壹個函數乘以虛數I-旋轉。
現在，有請宇宙第壹公式歐拉公式隆重登場——
這個公式在數學領域的意義遠遠大於傅立葉分析，但由於它的特殊形式——當x等於π時，它是宇宙中的第壹個公式。
理工科的學生為了顯示自己的學術功底，經常用這個公式給妹子講解數學之美:“妳看，石榴姐，這個公式裏有自然數底數E，自然數1和0，虛數I和pi。就是這麽簡單好看！”但女生心裏往往只有壹句話:“臭屌絲……”
這個公式的關鍵作用是將正弦波統壹成壹個簡單的指數形式。讓我們看看圖像上的含義:
歐拉公式描述了壹個點在復平面上隨時間做圓周運動，在時間軸上隨時間變成螺旋。如果只看它的實部，也就是左邊螺旋線的投影，它是壹個最基本的余弦函數。右邊的投影是正弦函數。
對於復數的深入理解，可以參考:
復數的物理意義是什麽？
這裏不用講太復雜，下面的內容大家理解就夠了。
不及物動詞指數傅裏葉變換
借助歐拉公式，我們知道正弦波的疊加也可以理解為螺線疊加在實空間的投影。而如果用壹個栗子的形象來理解，螺旋的疊加是什麽？
光波
我們在高中學過自然光是由不同顏色的光組成的，最著名的實驗是牛頓大師的棱鏡實驗:
所以其實我們很早就接觸到了光的光譜，只是不明白光譜更重要的意義。
但不同的是，傅裏葉變換後的光譜不僅僅是有限頻率範圍的可見光的疊加，而是從0到無窮大所有頻率的組合。
在這裏，我們可以從兩個方面來理解正弦波:
第壹個，之前已經提到過，是螺旋線在實軸上的投影。
另壹個需要通過歐拉公式的另壹種形式來理解:
將以上兩個公式相加，除以2得到:
這個公式怎麽理解？
我們剛才說過，e^(it)可以理解為逆時針旋轉的螺旋，那麽E (-it)可以理解為順時針旋轉的螺旋。Cos (t)是這兩條旋向不同的螺線疊加的壹半，因為這兩條螺線的虛部互相抵消了！
比如兩個偏振方向不同的光波，磁場抵消，電場加倍。
這裏我們稱逆時針旋轉為正頻率，順時針旋轉為負頻率(註意不是復頻率)。
好了，剛才我們已經看到了海洋——連續傅裏葉變換光譜。現在想想連續螺旋會是什麽樣子:
想象壹下再次拒絕:
是不是很美？
妳能猜出這個圖在時域是什麽樣子嗎？
哈哈，有沒有被扇耳光的感覺？數學就是這樣壹個東西，把簡單的問題變得非常復雜。
對了，像大海螺的圖，為了方便查看，我只展示了正頻部分，負頻部分沒有展示。
如果妳仔細看，海螺圖上的每壹條螺旋線都可以看得很清楚。每個螺旋都有不同的振幅(旋轉半徑)、頻率(旋轉周期)和相位。把所有的螺旋連接成壹個平面就是這幅海螺圖。
好了，講到這裏，相信大家對傅裏葉變換和傅裏葉級數有了形象的理解。最後用壹張圖總結壹下:
好了，傅立葉的故事終於結束了。來說說我的故事吧:
妳絕對猜不到這篇文章第壹次是在哪裏卸載的。那是在壹張高等數學試卷上。當時為了刷分，重考了高等數學(上冊)，但是因為時間緊，根本沒有復習，就抱著裸考的心態去了考場。但是到了考場，我突然意識到我絕對不會比上次考得更好，所以我只是寫了壹些關於數學的思考。於是花了壹個小時左右的時間，把這篇文章的初稿寫在了試卷上。
妳猜我多少分？
6分
是的，就是這個號碼。而這6分的結果，是因為我最後實在無聊，把所有選擇題都填了c，本來應該贏兩個的，得到了這寶貴的6分。說實話，我真的希望那張紙還在，但應該是不可能了。
那妳猜我第壹次信號與系統考試考了多少分？
45分
可以，剛好夠補考。但是我沒有考，決定重修。因為那學期忙著別的事情，真的把學習給忘了。但我知道這是壹門很重要的課程，無論如何我都會理解透徹。說真的，《信號與系統》這門課幾乎是所有工科的基礎，尤其是通信專業。
在重建的過程中，我仔細分析了每壹個公式，試圖給它壹個直觀的理解。雖然我知道，對於學數學的人來說，這種學習方法是完全沒有前途的，因為隨著概念越來越抽象，維度越來越高，這種形象或模型的理解方法就會完全失去作用。但是對於壹個工科生來說，已經足夠了。
後來我來到德國，當這裏的學校讓我重建信號和系統的時候，我徹底無語了。但是我沒辦法。德國人有時候對中國人很鄙視，覺得妳的教育不靠譜。所以沒辦法。讓我們再做壹次。
這次考了滿分，通過率只有壹半。
說實話，數學工具對於工科生和理科生的意義完全不同。工科生懂、用、查就夠了。然而，許多學院和大學把這些重要的數學課程教給數學系的老師。所以有壹個問題。數學老師講的天花亂墜，講道理，做證明，學生腦子裏只有壹句話:學這個產品有什麽用？
沒有目標的教育是徹底的失敗。
在開始學習壹個數學工具的時候，學生對這個工具的功能和實際意義毫無概念。課本上只有晦澀難懂的概念，二十幾個字的定語，還有看了讓人頭暈的公式。學興趣很奇怪！
很幸運，我有幸遇到了大連海事大學的吳楠老師。他的課全程有兩條線索，壹條是自上而下，壹條是自下而上。首先說明這門課的意義，然後指出這門課會遇到什麽樣的問題，讓學生知道自己所學的壹些知識在現實中的作用。然後從基礎開始，梳理知識樹，直到另壹條線索中提出的問題完美銜接！
這種教學模式，我覺得應該出現在大學裏。
最後，給所有喜歡我的同學寫信，留言。真的很感謝大家的支持，很抱歉不能壹壹回復。因為知乎專欄的消息要壹條壹條加載，要加載很多次才能看到最後壹點。當然，我堅持看完了，只是無法壹壹回復。
本文僅介紹壹種新穎的傅裏葉分析理解方法。對於學習來說，還是要紮紮實實的把公式和概念找出來，學習真的沒有捷徑。但至少通過這篇文章，我希望讓這段漫長的路變得更有趣。
最後，祝大家都能在學習中找到樂趣…