但是幾乎在數學的每個領域都能看到歐拉的名字——初等幾何的歐拉線、多面體的歐拉定理、立體解析幾何的歐拉變換公式、數論的歐拉函數、變分法的歐拉方程、復變函數的歐拉公式...歐拉也是數學史上最多產的數學家。他壹生寫了886種書和論文，平均每年寫800多頁。彼得堡科學院為了整理他的作品，忙了47年。他的著作《微元分析導論》、《微分學》、《積分學》是18世紀的歐洲標準微積分教材。歐拉還創造了許多數學符號，如f(x)、σ、I、E等，使數學更容易表達和普及。而且，歐拉把數學應用到了數學以外的很多領域。
法國大數學家拉普拉斯曾經說過壹句話——讀歐拉，他是每個人的老師。中國科學院數學與系統科學研究所研究員李文林說:“歐拉其實是壹個很熟悉的名字。在數學和物理學的許多分支中，到處都有以歐拉命名的常數、公式、方程和定理。他的探索讓科學更接近我們現在的形式。”
他讓微積分成長起來。
恩格斯曾經說過，微積分的發明是人類精神的最高勝利。1687年，牛頓在《自然哲學的數學原理》壹書中首次發表了他的微積分理論。幾乎與此同時，萊布尼茨也發表了關於微積分的論文，但牛頓和萊布尼茨創立的微積分基礎不穩固，應用範圍有限。18世紀，壹批數學家對微積分進行了拓展，拓展了它的應用，產生了壹系列新的分支，這些分支與微積分本身壹起形成了壹個廣闊的領域，叫做“分析”。李文林說:“歐拉生活在這個分析的時代。如果說在此之前數學是以代數和幾何為主的話，18世紀歐拉和壹批其他數學家的工作使數學形成了代數和幾何、分析的局面。沒有他們的工作，微積分不可能充滿春色，打不開局面就可能貧瘠雕零。歐拉在其中的貢獻是根本性的，被尊為‘分析的化身’。”
中科院數學與系統科學研究所研究員胡作宣說:“牛頓取得了突破，但突破不壹定形成學科，還有很多遺留問題。”比如牛頓對無窮小的定義並不嚴格，有時等於零有時參與運算，所以被稱為“消失量的幽靈”。當時連教會牧師都抓住這壹點攻擊牛頓。另外，由於當時函數的局限性，牛頓和萊布尼茨只涉及了少量的函數及其微積分解法。歐拉極大地促進了微積分，發展了許多技能。
“在分析之前，數學主要解決的是勻速直線運動的問題。18世紀工業革命時期，蒸汽機、織布機等機械得到廣泛應用，但如果沒有微積分和分析，就無法精確計算機械的運動和變化。”李文林說，到目前為止，微積分和微分方程仍然是描述運動最有效的工具，教科書中陳述的許多方法都是歐拉的貢獻。更重要的是，牛頓和萊布尼茨微積分的對象是曲線，而歐拉明確指出數學分析的中心應該是函數，首次強調了函數的作用，深化了函數的概念。
變分法起源於微積分，後來被歐拉和拉格朗日從不同角度發展成為壹門獨立的學科，用來解決極值問題。變奏的由來頗具戲劇性——1696年，歐拉的老師、巴塞爾大學教授約翰·伯努利(johann bernoulli)提出了這樣壹個問題，挑戰其他數學家:想象壹個球從空間的壹點沿著壹條曲線滾動到另壹點(不在同壹條垂直線上)，問什麽形狀的曲線使球在最短的時間內下落。這就是著名的“最速下降線問題”，半年後還沒有人解決，於是伯努利更明確地說“即使是自視甚高的數學家也解決不了這個問題”。有人說他在影射牛頓，因為伯努利是萊布尼茨的追隨者，萊布尼茨和牛頓因為微積分的優先地位而“開戰”，導致歐洲大陸和英國的數學家分裂。
牛頓當時是倫敦造幣廠的廠長。壹天，他收到壹位法國朋友轉發的“挑戰書”，於是晚飯後挑燈夜戰，在天亮前解決，並匿名發表在《劍橋大學哲學雜誌》上。雖然匿名，但約翰·伯努利(johann bernoulli)看到後驚呼:“我從這只利爪上認出了這只獅子。”後來伯努利兄弟和萊布尼茨也解決了這個問題，發表在同壹期。
在這個問題中，變量本身就是函數，所以比微積分的極大極小問題更復雜。這個問題和其他類似問題的解決成為變分法的起源。歐拉找到了解決這類問題的壹般方法，教科書上把變分法的基本方程稱為歐拉方程。
歐拉13歲上大學時，約翰·伯努利已經是歐洲著名的數學家了。伯努利後來對歐拉說:“當我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，是妳在帶它。”
全能數學家
李文林說:“除了分析，歐拉的名字在數學的許多領域都是不可避免的。比如數論，高斯說數學是科學女王，數論是數學女王，難度和地位可想而知。”代數數論的形成與費馬大定理密切相關。費馬在17世紀提出的壹個猜想——方程在n≥3時沒有整數解。費馬猜想也叫費馬大定理。費馬提出了這個猜想，並在紙邊上寫了壹句話，宣稱:“我找到了壹個絕妙的證明，但書的頁邊太窄，寫不下去。”所以費馬的證明成了壹個永恒的謎。300年後，費馬大定理終於被英國數學家解決了，直到1993。在整個18世紀，數學家們試圖解決這個猜想，但只有歐拉取得了唯壹的成果，證明了n=3是費馬大定理研究的第壹個突破。
歐拉是解析數論的創始人。他提出了歐拉恒等式，建立了數論與分析的聯系，使用微積分研究數論成為可能。後來高斯的學生黎曼將歐拉恒等式推廣到復數，提出黎曼猜想，至今未解，成為21世紀挑戰數學家的最重要問題之壹。
在幾何方面，歐拉解決了哥尼斯堡的七橋問題，這也成為圖論和拓撲學的起源李文林說。哥尼斯堡曾經是德國的壹個城市，後來屬於蘇聯。弗裏茨普雷格爾河(fritz pregl River)穿過城市，圍繞河中的壹個島嶼分成兩條支流。這條河上建了七座橋。傳說當地居民想設計壹條步行道，從某個地方出發，經過每壹座橋就回到原地，中間不重復。李文林說:“這是今天的‘中風’問題，但在當時沒有人能解決它。歐拉把這個問題變成了數學模型，用點和線畫出了網絡圖，證明了這種方式不存在，解決了哥尼斯堡七橋的問題。對這類問題的討論和研究實際上導致了圖論和拓撲學的發展。”
拓撲學中的歐拉特征也可以追溯到歐拉在1752中提出的壹個關於凸多面體的定理:
在凸多面體中，頂點數-邊數+面數=2。
陳省身曾經指出，歐拉特征是許多問題和解答的源泉，它對幾何學的影響是根本性的。李文林說:“由於她的數學很好，歐拉能夠解決其他領域的許多問題。歐拉的貢獻在物理、力學、天文學、航海、測地學等等方面無處不在。他是典型的全才數學家。牛頓和萊布尼茨發明的微積分可以說是‘原生態’，我們還能讀到歐拉在18世紀寫的文章。可以說是歐拉等人使數學，尤其是分析，發展到現代形式。”
最多產的數學家
歐拉是歷史上最多產的數學家。瑞士自然科學基金會組織編寫了《歐拉全集》，計劃出84卷，每卷4開本(報紙大小)。如果每本書300頁，歐拉從18歲開始，每天要寫1張紙。然而這些只是僅存的作品，歐拉的部分手稿在1771年的彼得堡大火中丟失。歐拉曾說過，他的手稿將為彼得堡的科學院保存大約20年。但事實上，在他去世後的第80年，彼得堡的《科學院學報》仍在出版他的作品。
“天才在於勤奮，歐拉就是這個道理的體現。”李文林說，“許多科學家都很勤奮，歐拉是最典型的。他失明十幾年後，在完全看不見的情況下做研究。歐拉心算能力很強，可以通過聽寫被別人記錄下來。有壹次，歐拉的兩個學生計算無窮級數的和，到17項時，在小數點後第50位發生爭執。這時歐拉進行了心算，很快給出了正確答案。”
“高斯的神童故事很有趣，但並不是每個人都是神童。即使作為神童，高斯也以勤奮著稱。可以說，有偉大成就的數學家，必定有偉大的勤奮。”例如，李文林說，被稱為“現代分析之父”的德國數學家維爾斯特拉斯也非常勤奮。大學畢業後，在壹所偏僻的中學任教14年，教數學、德語、書法、體育。他每天晚上都以驚人的毅力堅持研究。那時候他工資很低，連投稿的郵費都沒有。後來，壹個偶然的機會，他的研究論文被德國數學家克萊爾創辦的數學雜誌發表(克萊爾雜誌以幫助不知名的年輕學生發表創新成果而聞名)，震驚了歐洲科學界。
胡作宣認為，歐拉的成功顯示了壹個人的潛力。“高斯曾經說過，要做像歐拉那樣的人，我的眼睛會瞎的。壹個人做事沒有問題，只是現在社會比較復雜。我們應該為科學而科學，為藝術而藝術。”
除了學習，歐拉在管理方面也很有天賦。他曾擔任德國柏林科學院院長助理，工作卓有成效。李文林說:“有些人認為科學家，尤其是數學家是古怪的，但事實上數學家有不同的性格、經歷和命運。牛頓和萊布尼茨從未結婚，但歐拉不同。”歐拉喜歡音樂，生活豐富多彩。他結過兩次婚，生了13個孩子，活了5個。據說兒孫上班經常繞膝。去世當天下午，他給孫女上了壹堂數學課，和朋友討論天王星軌道的計算。突然我說了壹句“我要死了”，然後我就倒下了，不再活著，不再算計。
回顧歐拉的壹生，李文林認為:“雖然他20歲就離開了瑞士，再也沒有回去過，但他是壹個愛國者，至死也沒有改變過國籍。所以現在我們可以說他是瑞士數學家。”
“牛頓、萊布尼茨、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯都是綜合數學家。後來隨著科學的發展，通才越來越少。有人說龐加萊可能是最後壹個。”但是，數學不會因此而枯萎。李文林說:“在18年底，數學家中有壹種悲觀情緒。就連拉格朗日這樣的大數學家也認為數學已經結束了，但恰恰相反，19年初，非歐幾何的發現，群論的建立，嚴格微積分的突破，讓數學有了意想不到的發展。現代數學，特別是與計算機結合後，壹定會有新的形式。”