銀行借款合同的補充協議是否應該備案？

不需要。補充協議沒有改變主合同的主要目的，即買賣房屋的目的沒有改變，只是在壹些細節上做了修改和補充，未經備案不影響其法律效力。民法典的補充協議是對主合同的修改和完善，即使同時簽訂，也以補充協議的內容為準。