凱利的規則是賭壹個預先確定的資產分數，這可能是違反直覺的。在壹項研究中，每個參與者得到25美元，並被要求在壹枚硬幣上下註，讓他在陸地上度過60%的時間。最高獎金為250美元。值得註意的是，28%的參與者破產，平均支付額僅為965，438美元+0。只有21%的參與者達到最大值。18賭上了61參與者的壹切，三分之二的賭尾在做實驗。這兩種方法都不是最優的。“使用凱利標準，根據實驗中的賠率，正確的方法是每投20%下註(見下面第壹個例子)。如果妳輸了，賭註的大小將被削減；如果妳贏了，賭註會增加。
盡管凱利策略的承諾似乎比其他任何長期策略都更有說服力，但壹些經濟學家主張強烈反對，主要是因為個人的特定投資約束可能掩蓋了最優增長率的願望。常規的替代預期效用理論說，賭註的大小要使結果的預期效用最大化(壹個人的對數效用，凱利的賭註有最大的預期效用，所以不沖突；此外，凱利的原始文件明確規定賭博遊戲在限定時間內，案件需要實用功能)。即使是凱利的支持者通常也主張分數凱利(賭凱利推薦的固定分數)
近年來，凱利已經成為主流投資理論的壹部分，並聲稱已經取得了著名的成功投資者，包括沃倫巴菲特和比爾格羅斯使用凱利方法。威廉龐德斯通寫了壹個廣泛的凱利賭博的帳戶歷史。
聲明
對於壹個簡單的賭註，有兩種結果，壹種涉及輸掉整個賭註，另壹種涉及贏得賭註金額乘以支付賠率。凱利的賭註是:
f =[p(b+1)-1]/b = BP-q/b
註意:
f是當前資金投註的分數，即投註多少；
b是賭註收到的凈賠率(“b到1”)，也就是說，妳可以贏得1美元的賭註(妳可以在賭註上拿回妳1美元的賭註)；
p是獲勝的概率；
q是失敗的概率，是1？p；
舉個例子，如果壹個賭博的勝率是60% (p= 0.60，q = 0.40)，並且以壹個賭徒得到的賠率(b= 1)獲勝，那麽這個賭徒應該在每壹個機會(f = 0.20)上下註他資金的20%，以使資金的長期增長率最大化。
如果賭徒零邊，即b = q/p，那麽標準建議賭徒不下註。
如果保證金為負(b= q/p)，公式給出壹個負的結果，表明賭徒應該接受另壹方的賭註。
例如，在標準的美國輪盤賭中，當輪盤中有18個紅色數字和20個非紅色數字(p = 18/38)時，下註者提供偶數金錢獎勵(b = 1)紅色。凱利的賭註是1/19，這意味著賭徒應該支付他的洪倩的十九分之壹。可惜賭場不允許下註的事情都來了，壹個凱利賭徒就賭不起來了。
第壹部分的頂部是壹個估計凈獎金為$65，438+0的賭註，因為兩個結果是妳要麽以P的概率贏得$ b，要麽輸掉$65，438+0的賭註，即以q的概率贏得$65，438+0，因此:
f =預期凈贏款/凈贏款，如果
即使是貨幣投註(即b = 1時)，第壹個公式也可以簡化為:
f=p-q
由於q = 1-p，這進壹步簡化為:
f=2p-1
關於投資決策的壹個更普遍的問題如下:
成功的概率是p；
如果成功，妳投資的價值會增加1，也就是1+B。
如果失敗，(概率為q= 1-P)，投資價值下降到1-a(註意以上描述假設A為1)。
在這種情況下，凱利準則變成了壹個相對簡單的表達式:
f=p/a-q/b
請註意，這將原始表達式簡化為壹種特殊情況。
(f=p-q)，a=b=1
顯然，為了決定至少投資少量(F & gt；0)，必須:pb & gt質量保證
這顯然只是壹個事實，即妳的預期利潤必須超過妳的預期投資損失才有意義。
壹般結果解釋了為什麽使用貸款會減少投資的最佳比例。在這種情況下，a & gt1。顯然，無論成功概率p有多大，是的，如果A的值足夠大，投資的最佳得分為零。因此，使用過多的保證金不是壹個好的投資策略，無論妳是壹個多麽好的投資者。